問題
さいころを振り，出た目の数で17を割った余りをとする。ただし，1で割った余りは0である。さらにさいころを振り，出た目の数でを割った余りをとする。以下同様にして，が決まればさいころを振り，出た目の数でを割った余りをとする。
このようにして，，を定める。
(1) となる確率を求めよ。
(2) 各に対し，となる確率を求めよ。
(3) 各に対し，となる確率を求めよ。
注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。
方針
まず の分布を直接求める。以後現れる値は だけで、各値から次にどの値へ移るかを表にする。(1)は の分布を出し、そこから0へ移る確率を足す。(2)は5になる経路が非常に限られ、最初に5が出て以後ずっと6で割る場合だけである。(3)は , として漸化式を解く。別解として、5から初めて1へ移る時刻を直接数えても同じ式が得られる。
解答
さいころの目が のとき、 をその目で割った余りは である。したがって
である。以後、取りうる値は に限られる。
各値から次に0,1,2,5へ移る確率を確認しておく。 はどの目で割っても余り0なので、必ず0へ移る。 は1で割ったときだけ0、それ以外では1である。 は1または2で割ったとき0、それ以外では2である。 は1または5で割ったとき0、2または4で割ったとき1、3で割ったとき2、6で割ったとき5である。
(1)
上の遷移を用いて の分布を求める。
である。また
である。
値 から次に0となる確率は、それぞれ である。したがって
である。
(2)
となるには、まず でなければならない。さらに、値5から再び5になるのは6で割ったときだけである。したがって のあと、 回連続でさいころの目が6である必要がある。
よって である。
(3)
とおく。(2)より である。
値1から次に1になる確率は である。また値5から次に1になる確率は、2または4で割る場合なので である。値0または2からは次に1にならない。したがって である。初期値は である。
この漸化式を順に代入して解くと
である。和の一般項を整理すると
だから
である。したがって である。
別解。 となる経路を直接数えることもできる。最初から の場合は、その後に1を出さなければ1のままであるから である。最初に となり、途中で初めて1に移る場合は、しばらく6で割って5を保ち、その後2または4で割って1に移り、以後1を出さない。移る時刻を足し合わせると
である。これを上の初項に加えて整理しても、同じく を得る。