問題
，，を実数とし，とする。2次関数が次の条件(A)，(B)を満たすとする。
(A) ，，
(B) を満たすすべてのに対し，
このとき，積分の値のとりうる範囲を求めよ。
方針
端点条件でまず係数を1つの文字にまとめる。, から となるので、条件(B)は区間 における2次式 の非負条件に帰着する。端点では常に正なので、問題は軸が区間内に入る場合の頂点値だけである。最後に文科だけにある で の上限を加え、 の単調性から範囲を出す。
解答
条件 , より である。2式を引いて だから であり、これを に代入して を得る。したがって である。
条件(B)は である。左辺を右辺に移すと と同値である。ここで であり、端点では によらず正である。
まず とする。このとき は下に凸で、軸は である。軸が区間 に入るのは すなわち のときである。この場合、最小値は頂点でとるので が0以上であればよい。 だから両辺に を掛けて すなわち である。よって となり、この場合の条件は である。
次に のとき、軸は より右にある。したがって区間 での最小値は右端でとり、 であるから条件(B)を満たす。
さらに のときは であり、区間上で正である。 のときは上に凸ではなく上に開かない2次式なので、区間での最小値は端点のどちらかでとる。端点値は , だから、この場合も条件(B)を満たす。
以上より、条件(B)は と同値である。
次に条件(A)の残り を使う。 だから より である。したがって、許される の範囲は である。
最後に を計算する。展開して であり、 では の積分は0になる。よって
である。許される範囲では なので、 は とともに増加する。したがって
であり、 である。よって求める範囲は である。