東京大学 2003年度
文系数学 第3問

解答

(1)

解と係数の関係より $\alpha +\beta =4,\alpha \beta =1$ である。したがって $s_1=\alpha +\beta =4$ である。また $s_2={\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =16-2=14$ であり、

である。

さらに $\alpha$, $\beta$ はともに $x^2-4x+1=0$ を満たすので $x^2=4x-1$ である。これに $x^{n-2}$ を掛けると、$n\geqq 3$ について $x^n=4x^{n-1}-x^{n-2}$ となる。$x=\alpha ,\beta$ をそれぞれ代入して足せば $\boxed{s_n=4s_{n-1}-s_{n-2}(n\geqq 3)}$ である。

(2)

$s_1=4$, $s_2=14$ は正の整数である。$s_{n-1}$, $s_{n-2}$ が整数なら、漸化式 $s_n=4s_{n-1}-s_{n-2}$ により $s_n$ も整数である。よって帰納的にすべての $s_n$ は整数である。

また $\alpha =2+\sqrt{3}>0$, $\beta =2-\sqrt{3}>0$ だから $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n>0$ である。したがって $s_n$ は正の整数である。

1の位を調べるため、$s_0={\alpha }^0+{\beta }^0=2$ も用いる。漸化式から $s_n\equiv 4s_{n-1}-s_{n-2}(\mathrm{mod}10)$ である。初めから並べると

となり、以後 $2,4,4,2,4,4,\dots$ と周期3で繰り返す。$2003\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ だから $\boxed{s_{2003}\text{ の1の位は }4}$ である。

(3)

$\beta =2-\sqrt{3}$ であり、$1<\sqrt{3}<2$ から $0<\beta <1$ である。したがって $0<{\beta }^{2003}<1$ である。 $s_{2003}={\alpha }^{2003}+{\beta }^{2003}$ だから ${\alpha }^{2003}=s_{2003}-{\beta }^{2003}$ である。上の不等式より $s_{2003}-1<{\alpha }^{2003}<s_{2003}$ である。$s_{2003}$ は整数なので、${\alpha }^{2003}$ 以下の最大の整数は $s_{2003}-1$ である。(2)より $s_{2003}$ の1の位は4だから、求める1の位は $\boxed{3}$ である。