東京大学 2002年度理系数学第5問解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y z$ 空間に点

P_{k} (\frac{k}{n}, 1 - \frac{k}{n}, 0) (k = 0, 1, \dots, n)

をとる。また， $z$ 軸上 $z ≧ 0$ の部分に，点 $Q_{k}$ を線分 $P_{k} Q_{k}$ の長さが1になるようにとる。三角錐 $O P_{k} P_{k + 1} Q_{k}$ の体積を $V_{k}$ とおいて，極限

n \to \infty lim k = 0 \sum n - 1 V_{k}

を求めよ。

出典：東京大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$u = k / n$ とおくと $P_{k} = (u, 1 - u, 0)$ である。 $Q_{k}$ はz軸上にあり、 $P_{k} Q_{k} = 1$ から高さ $h_{k} = 2 u (1 - u)$ が決まる。底面三角形 $O P_{k} P_{k + 1}$ はxy平面上にあり、その面積は常に $1/ (2 n)$ である。よって各三角錐の体積はリーマン和になり、最後に $\int_{0}^{1} 2 x (1 - x) d x$ を三角置換で計算する。

解答

$u = \frac{k}{n}$ とおくと $P_{k} = (u, 1 - u, 0)$ である。 $Q_{k}$ はz軸上で $z ≧ 0$ にあるから $Q_{k} = (0, 0, h_{k}) (h_{k} ≧ 0)$ と書ける。条件 $P_{k} Q_{k} = 1$ より $u^{2} + (1 - u)^{2} + h_{k}^{2} = 1$ である。したがって $h_{k}^{2} = 1 - u^{2} - (1 - u)^{2} = 2 u (1 - u)$ であり、 $h_{k} = 2 u (1 - u)$ である。

三角形 $O P_{k} P_{k + 1}$ はxy平面上にある。また $P_{k + 1} = (u + \frac{1}{n}, 1 - u - \frac{1}{n}, 0)$ である。よってその面積は

\frac{1}{2} u (1 - u - \frac{1}{n}) - (u + \frac{1}{n}) (1 - u) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n} = \frac{1}{2 n}

である。

この三角形を底面と見ると、高さは $Q_{k}$ のz座標 $h_{k}$ である。したがって三角錐の体積は

V_{k} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 n} \cdot 2 \frac{k}{n} (1 - \frac{k}{n}) = \frac{1}{6 n} 2 \frac{k}{n} (1 - \frac{k}{n})

である。

よって

k = 0 \sum n - 1 V_{k} = \frac{1}{6} k = 0 \sum n - 1 2 \frac{k}{n} (1 - \frac{k}{n}) \frac{1}{n}

である。これは $n \to \infty$ で $\frac{1}{6} \int_{0}^{1} 2 x (1 - x) d x$ に収束する。

積分を計算する。ここで $x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} sin ϕ$ とおくと、 $x = 0$ から $x = 1$ までで $- \frac{π}{2} ≦ ϕ ≦ \frac{π}{2}$ である。また

d x = \frac{1}{2} cos ϕ d ϕ, 2 x (1 - x) = \frac{1}{2} cos ϕ

である。したがって

\int_{0}^{1} 2 x (1 - x) d x = \frac{1}{2 2} \int_{- π /2}^{π /2} cos^{2} ϕ d ϕ = \frac{1}{2 2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4 2}

である。

したがって求める極限は $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{4 2} = \frac{2 π}{48}$ である。

東京大学 2002年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

東京大学 2002年度
理系数学第5問