東京大学 2002年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a$ は正の実数とする。 $x y$ 平面の $y$ 軸上に点 $P (0, a)$ をとる。関数 $y = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ のグラフを $C$ とする。 $C$ 上の点 $Q$ で次の条件を満たすものが原点 $O (0, 0)$ 以外に存在するような $a$ の範囲を求めよ。

条件： $Q$ における $C$ の接線が直線 $P Q$ と直交する。

出典：東京大学 2002年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$Q = (x, x^{2} / (x^{2} + 1))$ とおく。 $Q \neq = O$ なので $x \neq = 0$ である。曲線Cの接線の傾きと直線PQの傾きの積が $- 1$ である条件から、aをxの式で表す。 $u = x^{2} > 0$ と置くと、aは $u$ の増加関数になり、 $u \to 0 + 0$ で $1/2$ に近づき、無限大まで増えるため、存在条件は $a > 1/2$ となる。

解答

点Qを $Q = (x, \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1})$ とおく。 $Q \neq = O$ なので $x \neq = 0$ である。

曲線 $y = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ を微分すると $y^{'} = \frac{2 x ( x ^{2} + 1 ) - x ^{2} \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ である。したがってQにおける接線の傾きは $\frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ である。

一方、 $P = (0, a)$ とQを結ぶ直線の傾きは $\frac{\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} - a}{x}$ である。直交条件より、2つの傾きの積は $- 1$ であるから $\frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} - a}{x} = - 1$ である。 $x \neq = 0$ なので整理して $a = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} + \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}{2}$ を得る。

ここで $u = x^{2}$ とおくと、 $u > 0$ であり $a = A (u) = \frac{u}{u + 1} + \frac{( u + 1 ) ^{2}}{2}$ である。これを1つの分数にすれば $A (u) = \frac{u ^{3} + 3 u ^{2} + 5 u + 1}{2 ( u + 1 )}$ である。

まず

A (u) - \frac{1}{2} = \frac{u}{u + 1} + \frac{( u + 1 ) ^{2} - 1}{2} = \frac{u ( u ^{2} + 3 u + 4 )}{2 ( u + 1 )} > 0

である。また $A^{'} (u) = \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} + (u + 1) = \frac{( u + 2 ) ( u ^{2} + u + 1 )}{( u + 1 ) ^{2}} > 0$ であるから、 $A (u)$ は $u > 0$ で増加する。さらに $lim_{u \to + 0} A (u) = \frac{1}{2}, lim_{u \to \infty} A (u) = \infty$ である。

したがって、条件を満たす $Q \neq = O$ が存在するためのaの範囲は $a > \frac{1}{2}$ である。 $a = 1/2$ は $u = 0$ 、すなわち $Q = O$ に対応する極限値であり、問題では $Q = O$ が除かれているため含まれない。

東京大学 2002年度理系数学 第4問

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