問題
空間内の原点を中心とし，点を通る球面をとする。の外側にある点に対し，を直径とする球面ととの交わりとして得られる円を含む平面をとする。点と点から平面へ下した垂線の足をそれぞれ，とする。このとき，
であるような点の動く範囲を求め，の体積は10より小さいことを示せ。
出典：東京大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
球面 は であり、 を直径とする球面は と表せる。2球面の交円を含む平面 は両式の差から である。点Pと点Aからこの平面への距離を出し、 を整理すると、中心 、半径 の球の内部条件になる。最後に単位球を除いた体積を評価する。
解答
点 を とし、 とおく。Pは球面Sの外側にあるので である。
空間内の点を と書く。球面Sは原点中心、半径1なので である。また、 を直径とする球面は を満たす点全体であるから である。
2つの球面の交わりでは、上の2式が同時に成り立つ。差を取ると である。したがって、交円を含む平面Lは である。
点Pから平面Lまでの距離は である。 なので分子は正であり である。また からLまでの距離は である。よって条件 は である。
もし なら、右辺は なので すなわち である。これは を意味するが、この球では となるため、 と両立しない。
したがって としてよく、このとき である。条件は すなわち である。
以上より、点Pの動く範囲Vは
である。これは、中心 、半径 の球の内部から、原点中心半径1の球面Sの内側と表面を除いた範囲である。
中心間の距離は であり、半径の差は である。したがって大きい球は単位球を内部に含み、点Aで内接している。よってVの体積は境界の有無に影響されず である。さらに を用いると である。したがってVの体積は10より小さい。