東京大学 2002年度
理系数学 第1問

解答

交点のx座標は

を満たす。整理すると $2\sqrt{3}(x^2+{\cos }^2\theta )+\sin \theta =0$ であるから $x^2=-\frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}-{\cos }^2\theta$ である。

相異なる2点で交わるためには、右辺が正であることが必要十分である。したがって $-\frac{\sin \theta }{2\sqrt{3}}-{\cos }^2\theta >0$ である。${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ を代入すると $2\sqrt{3}{\sin }^2\theta -\sin \theta -2\sqrt{3}>0$ である。この2次式の根は $-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{2}{\sqrt{3}}$ であり、$\sin \theta$ は $[-1,1]$ の範囲にあるから、条件は $\sin \theta <-\frac{\sqrt{3}}{2}$ と同値である。

よって一般角としては、整数 $k$ を用いて

である。