東京大学 2000年度理系数学第6問解答・解説

問題

(1) $a$ ， $b$ ， $c$ を正の実数とするとき，

100 a 10 001 100010 0 b 1 100 c 10 001 = 100010 0 x 1 100 y 10 001 100010 0 z 1

を満たす実数 $x$ ， $y$ ， $z$ を $a$ ， $b$ ， $c$ で表せ。

(2) $a$ ， $b$ ， $c$ が $1 ≦ a ≦ 2$ ， $1 ≦ b ≦ 2$ ， $1 ≦ c ≦ 2$ の範囲を動くとき，(1)の $x$ ， $y$ ， $z$ を座標とする点 $(x, y, z)$ が描く立体を $K$ とする。立体 $K$ を平面 $y = t$ で切った切り口の面積を求めよ。

(3) この立体 $K$ の体積を求めよ。

出典：東京大学 2000年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

(1)は3つの上三角行列を直接掛け、対応する成分を比較する。 $y = a + c$ 、 $z = ab / (a + c)$ 、 $x = b c / (a + c)$ が得られる。(2)では $y = t$ を固定すると $a + c = t$ であり、 $a$ の範囲は $2 ≦ t ≦ 3$ と $3 ≦ t ≦ 4$ で変わる。さらに $x + z = b$ 、 $z / (x + z) = a / t$ と見ると、切り口は $(x, z)$ 平面で2本の半直線と $x + z = 1, 2$ に囲まれる部分になる。面積は相似な三角形の差で求め、(3)で $t$ について積分する。

解答

(1)

左辺を順に掛けると

100 a 10 001 100010 0 b 1 = 100 a 10 ab b 1

であり、さらに

100 a 10 ab b 1 100 c 10 001 = 100 a + c 10 ab b 1

となる。

右辺は

100010 0 x 1 100 y 10 001 = 100 y 10 0 x 1

であり、さらに

100 y 10 0 x 1 100010 0 z 1 = 100 y 10 y z x + z 1

である。

成分を比較して $y = a + c, y z = ab, x + z = b$ を得る。 $a + c > 0$ なので $z = \frac{ab}{a + c}, x = b - z = \frac{b c}{a + c}$ である。したがって $x = \frac{b c}{a + c}, y = a + c, z = \frac{ab}{a + c}$ である。

(2)

$y = t$ と固定する。 $y = a + c$ なので $t = a + c$ である。 $1 ≦ a ≦ 2$ 、 $1 ≦ c ≦ 2$ より、切り口が空でないのは $2 ≦ t ≦ 4$ のときである。

また(1)より $x + z = b, \frac{z}{x + z} = \frac{a}{a + c} = \frac{a}{t}$ である。ここで $1 ≦ b ≦ 2$ だから $1 ≦ x + z ≦ 2$ である。 $2 ≦ t ≦ 3$ のとき、 $c = t - a$ が $1 ≦ c ≦ 2$ を満たすためには $1 ≦ a ≦ t - 1$ である。よって $\frac{1}{t} ≦ \frac{z}{x + z} ≦ \frac{t - 1}{t}$ である。 $3 ≦ t ≦ 4$ のときは $t - 2 ≦ a ≦ 2$ であるから $\frac{t - 2}{t} ≦ \frac{z}{x + z} ≦ \frac{2}{t}$ である。

一般に $r_{1} ≦ \frac{z}{x + z} ≦ r_{2}, 1 ≦ x + z ≦ 2$ で表される部分を考える。2本の境界 $z / (x + z) = r_{1}, r_{2}$ は原点を通る半直線である。直線 $x + z = 1$ 上での交点は $(1 - r_{1}, r_{1}), (1 - r_{2}, r_{2})$ である。原点とこの2点でできる三角形の面積は $\frac{1}{2} ∣ (1 - r_{1}) r_{2} - (1 - r_{2}) r_{1} ∣ = \frac{1}{2} (r_{2} - r_{1})$ である。直線 $x + z = 2$ まで拡大した三角形は相似比2なので面積は4倍である。したがって、 $1 ≦ x + z ≦ 2$ に挟まれた部分の面積は $4 \cdot \frac{1}{2} (r_{2} - r_{1}) - \frac{1}{2} (r_{2} - r_{1}) = \frac{3}{2} (r_{2} - r_{1})$ である。

よって切り口の面積を $A (t)$ とすると

A (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{2} (\frac{t - 1}{t} - \frac{1}{t}) \frac{3}{2} (\frac{2}{t} - \frac{t - 2}{t}) (2 ≦ t ≦ 3), (3 ≦ t ≦ 4)

である。整理して

A (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 ( t - 2 )}{2 t} \frac{3 ( 4 - t )}{2 t} (2 ≦ t ≦ 3), (3 ≦ t ≦ 4)

である。

(3)

体積は切り口面積を $t$ で積分して $\int_{2}^{3} \frac{3 ( t - 2 )}{2 t} d t + \int_{3}^{4} \frac{3 ( 4 - t )}{2 t} d t$ である。これを計算すると

\frac{3}{2} \int_{2}^{3} (1 - \frac{2}{t}) d t + \frac{3}{2} \int_{3}^{4} (\frac{4}{t} - 1) d t

であるから $\frac{3}{2} [t - 2 lo g t]_{2}^{3} + \frac{3}{2} [4 lo g t - t]_{3}^{4}$ となる。整理して $\frac{3}{2} {(1 + 2 lo g 2 - 2 lo g 3) + (- 1 + 8 lo g 2 - 4 lo g 3)}$ であり、これは $3 (5 lo g 2 - 3 lo g 3) = 3 lo g \frac{32}{27}$ である。よって立体 $K$ の体積は $3 lo g \frac{32}{27}$ である。

東京大学 2000年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2000年度
理系数学第6問