問題
座標平面上を運動する3点，，があり，時刻における座標が次で与えられている。
ただし，は正の定数である。この運動において，以下のそれぞれの場合にのとりうる値の範囲を求めよ。
(1) 点と線分が時刻0からまでの間ではぶつからない。
(2) 点と線分がただ一度だけぶつかる。
出典：東京大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
線分 は時刻 において 、 の縦線分である。点 がぶつかる条件は と の同時成立であり、後者から は に限られる。したがって のこの区間での値域を求め、さらに単調性により衝突回数を判断する。
解答
(1)
時刻 において、線分 は で表される縦の線分である。点 は だから、 が線分 上にある条件は である。 において となるのは のときである。したがって衝突が起こるためには、この区間のある について となればよい。 とおく。すると である。分子を とおくと である。したがって は で増加し、 で減少する。
端点では であるから、この区間全体で である。よって は で単調増加する。
したがって衝突が起こる の範囲は である。端点の値は である。よって、ぶつからないための条件はこの範囲の外側、すなわち である。
(2)
上で示したように、衝突は と同値であり、 はこの区間で単調増加である。したがって のとき、対応する時刻 はただ1つ存在する。端点の場合も、 または で1回だけぶつかる。
よって、点 と線分 がただ一度だけぶつかるための の範囲は である。