東京大学 2000年度
理系数学 第1問

解答

座標を $B=(-1,0),C=(1,0),A=(0,1)$ とおく。このとき三角形の3辺は $y=0,y=1-x,y=1+x$ である。

楕円の一つの軸が $BC$ に平行であるから、楕円の軸は $x$ 軸、$y$ 軸に平行である。中心を $(u,q)$、横半径を $p$、縦半径を $q$ とおく。底辺 $y=0$ に接するので、中心の $y$ 座標は縦半径に等しい。したがって楕円は $\frac{(x-u{)}^2}{p^2}+\frac{(y-q{)}^2}{q^2}=1$ と書ける。

直線 $x+y-1=0$ がこの楕円に接する条件は $(u+q-1{)}^2=p^2+q^2$ である。同様に、直線 $-x+y-1=0$ が接する条件は $(-u+q-1{)}^2=p^2+q^2$ である。両式の右辺は等しいから $(u+q-1{)}^2=(-u+q-1{)}^2$ である。もし $q=1$ なら楕円は三角形内に収まらないので、ここから $u=0$ を得る。つまり中心は対称軸上にある。

よって楕円は $\frac{x^2}{p^2}+\frac{(y-q{)}^2}{q^2}=1$ であり、斜辺 $y=1-x$ への接線条件は $(q-1{)}^2=p^2+q^2$ である。したがって $p^2=(1-q{)}^2-q^2=1-2q$ となる。$p^2>0$ より $0<q<\frac{1}{2}$ である。

楕円の面積を $S$ とすると $S=\pi pq=\pi q\sqrt{1-2q}$ である。$S$ を最大にするには $S^2={\pi }^2{q}^2(1-2q)$ を最大にすればよい。$F(q)=q^2(1-2q)$ とおくと $F^{\prime }(q)=2q(1-2q)-2q^2=2q(1-3q)$ である。区間 $0<q<1/2$ において、$F$ は $q=1/3$ まで増加し、その後減少する。よって最大は $q=\frac{1}{3}$ のときである。このとき $p^2=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3},p=\frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、面積の最大値は $\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3}\pi }{9}$ である。

別解。斜辺への接線条件は、直線 $y=1-x$ を楕円の方程式へ代入し、得られる2次方程式の判別式を $0$ としても導ける。中心が $(0,q)$ であることを先に押さえれば、この方法でも同じく $p^2=1-2q$ が出る。