東京大学 2000年度理系数学第3問解答・解説

問題

$a > 0$ とする。正の整数 $n$ に対して，区間 $0 ≦ x ≦ a$ を $n$ 等分する点の集合

{0, \frac{a}{n}, \dots, \frac{n - 1}{n} a, a}

の上で定義された関数 $f_{n} (x)$ があり，次の方程式を満たす。

⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (0) = c, \frac{f _{n} (( k + 1 ) h ) - f _{n} ( k h )}{h} = {1 - f_{n} (k h)} f_{n} ((k + 1) h) (k = 0, 1, \dots, n - 1)

ただし， $h = \frac{a}{n}$ ， $c > 0$ である。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $p_{k} = \frac{1}{f _{n} ( k h )}$ $(k = 0, 1, \dots, n)$ とおいて $p_{k}$ を求めよ。

(2) $g (a) = n \to \infty lim f_{n} (a)$ とおく。 $g (a)$ を求めよ。

(3) $c = 2, 1, \frac{1}{4}$ それぞれの場合について， $y = g (x)$ の $x > 0$ でのグラフをかけ。

出典：東京大学 2000年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

差分方程式は $f_{n} ((k + 1) h)$ と $f_{n} (k h)$ が積で現れるため、逆数 $p_{k} = 1/ f_{n} (k h)$ を導入すると一次漸化式になる。具体的には $p_{k + 1} - 1 = (1 - h) (p_{k} - 1)$ で、等比数列として $p_{k}$ を求める。 $k = n$ 、 $h = a / n$ として $(1 - a / n)^{n}$ の極限を取り、最後は $c$ の値ごとに初期値・単調性・漸近線 $y = 1$ を整理してグラフの形を決める。

解答

(1)

記号を簡単にするため $f_{k} = f_{n} (k h)$ と書く。与えられた式は $\frac{f _{k + 1} - f _{k}}{h} = (1 - f_{k}) f_{k + 1}$ であるから $f_{k + 1} - f_{k} = h (1 - f_{k}) f_{k + 1}$ である。両辺を $f_{k} f_{k + 1}$ で割ると $\frac{1}{f _{k}} - \frac{1}{f _{k + 1}} = h (\frac{1}{f _{k}} - 1)$ となる。 $p_{k} = 1/ f_{k}$ とおくと $p_{k} - p_{k + 1} = h (p_{k} - 1)$ であり、したがって $p_{k + 1} = (1 - h) p_{k} + h$ である。両辺から $1$ を引けば $p_{k + 1} - 1 = (1 - h) (p_{k} - 1)$ となる。 $p_{0} = 1/ c$ だから $p_{k} - 1 = (\frac{1}{c} - 1) (1 - h)^{k}$ であり、 $p_{k} = 1 + (\frac{1}{c} - 1) (1 - h)^{k}$ である。

(2)

$a$ に対応する点は $k = n$ であり、 $h = a / n$ である。(1)より $f_{n} (a) = \frac{1}{1 + ( \frac{1}{c} - 1 ) ( 1 - \frac{a}{n} ) ^{n}}$ である。ここで $lim_{n \to \infty} (1 - \frac{a}{n})^{n} = e^{- a}$ なので $g (a) = \frac{1}{1 + ( \frac{1}{c} - 1 ) e ^{- a}}$ である。分母分子に $c e^{a}$ を掛けると $g (a) = \frac{c e ^{a}}{c e ^{a} + 1 - c}$ である。

(3)

$x > 0$ に対して $g (x) = \frac{c e ^{x}}{c e ^{x} + 1 - c}$ である。また微分すると $g^{'} (x) = \frac{c e ^{x} ( 1 - c )}{( c e ^{x} + 1 - c ) ^{2}}$ である。 $c = 2$ のとき $g (x) = \frac{2 e ^{x}}{2 e ^{x} - 1}$ であり、 $g^{'} (x) < 0$ だから単調減少である。 $x = 0$ まで延長すれば $g (0) = 2$ であり、 $x \to \infty$ で $g (x) \to 1$ となる。したがって $x > 0$ では $1$ より大きい側から $1$ に近づく曲線である。 $c = 1$ のとき $g (x) = 1$ であり、グラフは水平直線 $y = 1$ である。 $c = \frac{1}{4}$ のとき $g (x) = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 3}$ であり、 $g^{'} (x) > 0$ だから単調増加である。 $x = 0$ まで延長すれば $g (0) = 1/4$ であり、 $x \to \infty$ で $g (x) \to 1$ となる。したがって $x > 0$ では $1$ より小さい側から $1$ に近づく曲線である。

以上を図示すれば、 $c = 2$ は上から $y = 1$ に近づく減少曲線、 $c = 1$ は $y = 1$ 、 $c = 1/4$ は下から $y = 1$ に近づく増加曲線である。

東京大学 2000年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2000年度
理系数学第3問