東京大学 1999年度理系数学第6問解答・解説

問題

\int_{0}^{π} e^{x} sin^{2} x d x > 8

であることを示せ。ただし， $π = 3.14 \dots$ は円周率， $e = 2.71 \dots$ は自然対数の底である。

出典：東京大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

まず $sin^{2} x = (1 - cos 2 x) /2$ を用いて定積分を正確に計算する。 $\int e^{x} cos 2 x d x$ は部分積分を2回行うか、微分して確認できる形 $e^{x} (cos 2 x + 2 sin 2 x) /5$ を使う。積分値は $2 (e^{π} - 1) /5$ になるので、あとは $e^{π} > 21$ を示せばよい。数値評価は、 $e > 2.7$ 、 $π > 3.14$ 、および $u > 0$ で $e^{u} > 1 + u$ を用いて、高校範囲の不等式として処理する。

解答

まず積分値を計算する。 $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ であるから

\int_{0}^{π} e^{x} sin^{2} x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} e^{x} d x - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} e^{x} cos 2 x d x .

ここで $\frac{d}{d x} {\frac{e ^{x} ( c o s 2 x + 2 s i n 2 x )}{5}} = e^{x} cos 2 x$ である。したがって

\int_{0}^{π} e^{x} cos 2 x d x = [\frac{e ^{x} ( cos 2 x + 2 sin 2 x )}{5}]_{0}^{π} = \frac{e ^{π} - 1}{5}

である。また $\int_{0}^{π} e^{x} d x = e^{π} - 1$ である。よって

\int_{0}^{π} e^{x} sin^{2} x d x = \frac{1}{2} (e^{π} - 1) - \frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{π} - 1}{5} = \frac{2}{5} (e^{π} - 1) .

したがって、示すべきことは $\frac{2}{5} (e^{π} - 1) > 8$ すなわち $e^{π} > 21$ である。

これを示す。 $e > 2.7$ 、 $π > 3.14$ であり、 $u > 0$ に対して $e^{u} > 1 + u$ が成り立つ。よって $e^{π} = e^{3} e^{π - 3} > 2. 7^{3} e^{0.14} > 2. 7^{3} (1 + 0.14)$ である。ここで $2. 7^{3} = 19.683$ なので $2. 7^{3} \cdot 1.14 = 22.43862 > 21$ である。したがって $e^{π} > 21$ である。

以上より $\int_{0}^{π} e^{x} sin^{2} x d x = \frac{2}{5} (e^{π} - 1) > \frac{2}{5} (21 - 1) = 8$ である。よって $\int_{0}^{π} e^{x} sin^{2} x d x > 8$ が示された。

東京大学 1999年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

東京大学 1999年度
理系数学第6問