問題
をを満たす実数とする。
(1) 四面体の各辺はそれぞれ確率で電流を通すものとする。このとき，頂点からに電流が流れる確率を求めよ。ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする。
(2) (1)で考えたような2つの四面体とを図のように頂点とでつないだとき，頂点からに電流が流れる確率を求めよ。
% 図は省略
方針
(1)は文科第4問の一般化であり、 と がつながらない余事象を を含む導通成分で分類する。成分が 、 または 、 の場合を、外へ出る辺が閉じている条件と内部が連結である条件に分けて数える。最後に1から引いて接続確率 を得る。(2)は2つの四面体が1点だけで接続されているので、 から接続点へ流れる確率と、接続点から へ流れる確率の積になる。
解答
(1)
から に電流が流れない確率を求め、その余事象をとる。 と導通している頂点の集合を考える。 と がつながらないとき、この集合は を含まないので のいずれかである。
まず、導通成分が である確率を求める。このためには から出る3辺 がすべて電流を通さなければよい。確率は である。
次に、導通成分が である場合を考える。このとき は電流を通し、外へ出る辺 は電流を通さない必要がある。辺 は自由である。したがって確率は である。 の場合も同じ確率なので、2場合の合計は である。
最後に、導通成分が である場合を考える。 とつながってはいけないので はすべて電流を通さない必要があり、その確率は である。一方、三角形 の3頂点は連結でなければならない。これは3辺のうち少なくとも2辺が電流を通す場合であるから、その確率は である。したがってこの場合の確率は である。
よって、 から に電流が流れない確率は である。したがって、 から に電流が流れる確率を とおくと である。これを整理すると である。
(2)
2つの四面体は、頂点 と をつないだ接続点だけでつながっている。したがって から に電流が流れるためには、第一の四面体で から に電流が流れ、かつ第二の四面体で から に電流が流れることが必要十分である。
各四面体の辺の導通は独立であり、それぞれの確率は(1)の である。したがって求める確率は である。