東京大学 1999年度
理系数学 第2問

解答

(1)

$a=3+4i$ とおく。漸化式は $z_{n+1}=a{z}_n+1,z_1=1$ であるから、帰納的に $z_n=1+a+a^2+\cdots +a^{n-1}$ である。したがって $z_n=\frac{a^n-1}{a-1}$ である。

ここで $|a|=|3+4i|=5,|a-1|=|2+4i|=2\sqrt{5}$ だから $|z_n|=\frac{|a^n-1|}{2\sqrt{5}}$ である。

まず下から評価する。三角不等式より $|a^n-1|\geqq |a^n|-1=5^n-1$ である。よって $|z_n|\geqq \frac{5^n-1}{2\sqrt{5}}$ である。これが $\frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}$ より大きいことを確認する。両辺を正の数で割り、整理すると $\frac{5^n-1}{2\sqrt{5}}>\frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}$ は $2(5^n-1)>3\sqrt{5}{5}^{n-1}$ と同値である。$n=1$ では $8>3\sqrt{5}$ であり成り立つ。$n\geqq 2$ では左辺と右辺の比はさらに大きくなるので、同じ不等式が成り立つ。したがって $\frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}<|z_n|$ である。

次に上から評価する。三角不等式より $|a^n-1|\leqq |a^n|+1=5^n+1$ である。したがって $|z_n|\leqq \frac{5^n+1}{2\sqrt{5}}$ である。 $n=1$ では $z_1=1$ だから $|z_1|=1<\frac{5}{4}$ である。$n\geqq 2$ では $2+\frac{2}{5^n}\leqq 2+\frac{2}{25}<\sqrt{5}$ であるから $\frac{5^n+1}{2\sqrt{5}}<\frac{5^n}{4}$ が成り立つ。よって $|z_n|<\frac{5^n}{4}$ である。以上より、すべての自然数 $n$ について $\frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}<|z_n|<\frac{5^n}{4}$ が示された。

(2)

(1)より、$|z_n|\leqq r$ なら $\frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}<r$ である。したがって $5^{n-1}<\frac{4r}{3}$ より $n<1+\frac{\log (4r/3)}{\log 5}$ である。よって $f(r)$ はこの右辺をこえることはない。

一方、$\frac{5^n}{4}\leqq r$ ならば、(1)より $|z_n|<r$ である。したがって $n\leqq \frac{\log (4r)}{\log 5}$ を満たす自然数 $n$ はすべて $f(r)$ に数えられる。

以上から、$f(r)$ は $\frac{\log r}{\log 5}$ と高々定数差しかない。すなわち、ある定数 $C$ が存在して、十分大きい $r$ に対して $\left|f(r)-\frac{\log r}{\log 5}\right|\leqq C$ である。両辺を $\log r$ で割り、$r\to +\infty$ とすると定数差は消えるので $\underset{r\to +\infty }{\lim }\frac{f(r)}{\log r}=\frac{1}{\log 5}$ である。

別解。漸化式の固定点を使ってもよい。$w=aw+1$ を満たす $w$ は $w=-\frac{1}{a-1}$ である。したがって $z_{n+1}-w=a(z_n-w)$ となり、$z_n-w=a^{n-1}(z_1-w)$ である。これを整理すると同じく $z_n=\frac{a^n-1}{a-1}$ が得られる。一次漸化式では、この固定点への差を見る方法も有効である。