東京大学 1998年度理系数学第6問解答・解説

問題

$x y z$ 空間に5点 $A (1, 1, 0)$ ， $B (- 1, 1, 0)$ ， $C (- 1, - 1, 0)$ ， $D (1, - 1, 0)$ ， $P (0, 0, 3)$ をとる。四角錐 $P A B C D$ の

x^{2} + y^{2} ≧ 1

を満たす部分の体積を求めよ。

出典：東京大学 1998年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

四角錐の底面は正方形 $- 1 ≦ x, y ≦ 1$ 、頂点は高さ3にある。底面上の点 $(x, y)$ での四角錐の高さは、正方形の相似な断面を考えると $3 (1 - max (∣ x ∣, ∣ y ∣))$ である。求める部分は円 $x^{2} + y^{2} < 1$ の内側を除いた部分なので、対称性で $0 ≦ y ≦ x ≦ 1$ の8分の1領域に絞る。この領域では高さが $3 (1 - x)$ となり、条件 $x^{2} + y^{2} ≧ 1$ から $1/ 2 ≦ x ≦ 1$ , $1 - x^{2} ≦ y ≦ x$ を積分範囲にする。

解答

底面は正方形 $- 1 ≦ x ≦ 1, - 1 ≦ y ≦ 1$ であり、頂点 $P$ の高さは3である。底面上の点 $(x, y)$ の上にある四角錐の高さを考える。高さ $z$ の水平断面は、底面の正方形を中心から相似に縮めた正方形であり、その半辺は $1 - \frac{z}{3}$ である。したがって点 $(x, y)$ がその断面の内側にある条件は $max (∣ x ∣, ∣ y ∣) ≦ 1 - \frac{z}{3}$ である。よって、その点での高さは $z = 3 (1 - max (∣ x ∣, ∣ y ∣))$ である。

対称性により、 $0 ≦ y ≦ x ≦ 1$ の部分を8倍して考える。この部分では $max (∣ x ∣, ∣ y ∣) = x$ なので、高さは $3 (1 - x)$ である。

さらに条件 $x^{2} + y^{2} ≧ 1$ を満たす部分を取る。 $0 ≦ y ≦ x$ で円の外側にあるには、まず $x$ が $1/ 2$ 以上でなければならない。よって範囲は $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1, 1 - x^{2} ≦ y ≦ x$ である。

したがって求める体積 $V$ は $V = 8 \int_{1/ 2}^{1} \int_{1 - x^{2}}^{x} 3 (1 - x) d y d x$ である。内側の積分を行うと $V = 24 \int_{1/ 2}^{1} (1 - x) (x - 1 - x^{2}) d x$ である。

ここで $\int_{1/ 2}^{1} (1 - x) x d x = \frac{2 - 1}{12}$ であり、また

\int_{1/ 2}^{1} (1 - x) 1 - x^{2} d x = \int_{1/ 2}^{1} 1 - x^{2} d x - \int_{1/ 2}^{1} x 1 - x^{2} d x = (\frac{π}{8} - \frac{1}{4}) - \frac{2}{12}

である。したがって

V = 24 {\frac{2 - 1}{12} - (\frac{π}{8} - \frac{1}{4} - \frac{2}{12})} = 24 (\frac{2 + 1}{6} - \frac{π}{8}) = 4 + 42 - 3 π

である。

別解。 $0 ≦ y ≦ x$ の部分を、角度 $0 ≦ ϕ ≦ π /4$ の細い扇形に分けて考える。この範囲では $x = r cos ϕ$ であり、高さは $3 (1 - r cos ϕ)$ である。円の外側で正方形の内側にあるため、 $r$ は $1 ≦ r ≦ \frac{1}{c o s ϕ}$ を動く。半径 $r$ の細い扇形の面積は $r$ に比例するので、同じ体積は $8 \int_{0}^{π /4} \int_{1}^{1/ c o s ϕ} 3 (1 - r cos ϕ) r d r d ϕ$ と表せる。内側を計算すると $\frac{1}{2} \frac{1}{c o s ^{2} ϕ} - \frac{3}{2} + cos ϕ$ となり、

8 \int_{0}^{π /4} (\frac{1}{2} \frac{1}{cos ^{2} ϕ} - \frac{3}{2} + cos ϕ) d ϕ = 4 + 42 - 3 π

を得る。

東京大学 1998年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

東京大学 1998年度
理系数学第6問