問題
実数に対してを満たす整数をで表す。を正の整数として，
とおく。個の整数
のうち相異なるものの個数をを用いて表せ。
出典：東京大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
まず導関数を求め、 で が単調増加することを確認する。次に端点 での値を計算し、区間を3つに分ける。左右の区間では隣り合う整数入力での増加量が1未満なので床関数の値は整数を飛ばさず、中央の区間では増加量が1より大きく2未満なので床関数の値は毎回変わるが一部の整数を飛ばす。最後に端点の重複、特に と の数え方を調整して相異なる個数を合計する。
解答
微分すると である。したがって で であり、 はこの区間で単調増加する。
端点の値を計算すると である。
まず では である。したがって、整数 を1増やしたときの の増加量は1未満である。, で両端が整数なので、 は をすべてとり、個数は である。
同様に でも であり、, であるから、この区間では をすべてとる。
次に中央の区間 を見る。この区間では である。したがって整数 を1増やすたびに は1より大きく、2より小さく増える。よって は毎回必ず変わる。中央区間の整数入力は の 個であり、その最初の値は 、最後の値は である。
以上を重複に注意して足す。左区間で から まで 個を数える。中央区間は 個あるが、最初の は左区間で数えたので、新しく増えるのは 個である。右区間は から まで 個あるが、 は中央区間の最後で数えたので、新しく増えるのは 個である。
したがって相異なる値の個数は である。