東京大学 1998年度理系数学第5問解答・解説

問題

$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。 $x y$ 平面にベクトル

a = (cos θ, sin θ), b = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})

をとり，点 $P_{n}$ ， $Q_{n}$ ， $n = 1, 2, \dots$ を

⎩ ⎨ ⎧ O P_{1} = (1, 0), O Q_{n} = O P_{n} - (a \cdot O P_{n}) a, O P_{n + 1} = 4 {O Q_{n} - (b \cdot O Q_{n}) b}

で定める。ただし， $O$ は原点で， $a \cdot O P_{n}$ および $b \cdot O Q_{n}$ はベクトルの内積を表す。 $O P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ とおく。数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ がともに収束する $θ$ の範囲を求めよ。さらに，このような $θ$ に対して，極限値

n \to \infty lim x_{n}, n \to \infty lim y_{n}

を求めよ。

出典：東京大学 1998年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$O Q_{n}$ は $O P_{n}$ から $a$ 方向成分を引いたものなので、 $a$ に垂直な方向への射影である。同様に $O P_{n + 1}$ は $b$ に垂直な方向への射影を4倍したものになる。そこで $a$ に垂直な単位ベクトル $u$ と $b$ に垂直な単位ベクトル $v$ を置くと、 $n ≧ 2$ ではすべて $v$ 方向の等比数列になる。公比 $4 cos^{2} (θ - π /6)$ が1以下なら収束し、1より大きい場合は第2項が0になる例外だけを加える。端点では公比が1なので、 $O P_{2}$ を直接計算して極限を出す。

解答

$a = (cos θ, sin θ)$ に垂直な単位ベクトルを $u = (- sin θ, cos θ)$ とおく。また $b = (3 /2, 1/2)$ に垂直な単位ベクトルを $v = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ とおく。 $O Q_{n}$ は $O P_{n}$ のうち $a$ に垂直な成分であるから $O Q_{n} = (O P_{n} \cdot u) u$ である。さらに $O P_{n + 1}$ は $O Q_{n}$ のうち $b$ に垂直な成分を4倍したものなので $O P_{n + 1} = 4 (O Q_{n} \cdot v) v$ である。

ここで

u \cdot v = \frac{1}{2} sin θ + \frac{3}{2} cos θ = cos (θ - \frac{π}{6})

である。 $n ≧ 2$ では、 $O P_{n}$ は $v$ に平行である。 $O P_{n} = c_{n} v$ と書くと

O P_{n + 1} = 4 {(c_{n} v \cdot u) u \cdot v} v = 4 c_{n} (u \cdot v)^{2} v

である。したがって

O P_{n + 1} = 4 cos^{2} (θ - \frac{π}{6}) O P_{n} (n ≧ 2)

である。

公比を $R = 4 cos^{2} (θ - \frac{π}{6})$ とおく。 $R ≦ 1$ なら、 $n ≧ 2$ で $O P_{n}$ は収束する。これは $cos (θ - \frac{π}{6}) ≦ \frac{1}{2}$ と同値であり、 $0 ≦ θ < 2 π$ では

\frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2} ≦ θ ≦ \frac{11 π}{6}

である。

一方、 $R > 1$ でも $O P_{2} = 0$ なら以後すべて0で収束する。 $O P_{1} = (1, 0)$ だから $O P_{2} = 4 {((1, 0) \cdot u) (u \cdot v)} v$ である。 $R > 1$ の範囲では $u \cdot v \neq = 0$ なので、 $O P_{2} = 0$ は $(1, 0) \cdot u = - sin θ = 0$ と同値である。よって $θ = 0, π$ が加わる。

したがって、収束する $θ$ は $θ = 0, π$ または

\frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2} ≦ θ ≦ \frac{11 π}{6}

である。

極限を求める。 $R < 1$ のとき、および $θ = 0, π$ のときは $lim_{n \to \infty} O P_{n} = 0$ である。したがって $lim_{n \to \infty} x_{n} = 0, lim_{n \to \infty} y_{n} = 0$ である。

残るのは $R = 1$ の端点である。このとき $n ≧ 2$ では $O P_{n} = O P_{2}$ で一定である。 $O P_{2}$ を計算すると、 $θ = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$ のとき $O P_{2} = - 2 v = (1, - 3)$ である。また $θ = \frac{5 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ のとき $O P_{2} = v = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ である。

以上より、端点ではそれぞれ $(lim_{n \to \infty} x_{n}, lim_{n \to \infty} y_{n}) = (1, - 3)$ または

(n \to \infty lim x_{n}, n \to \infty lim y_{n}) = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

であり、それ以外の収束範囲では $(0, 0)$ である。

東京大学 1998年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

東京大学 1998年度
理系数学第5問