問題
を正の整数とする。連立不等式
を満たす空間の点で，，，がすべて整数であるものの個数をとおく。極限
を求めよ。
方針
連立不等式の左辺はすべて の一次式であり、 を変えると同じ四面体が原点を中心に 倍される。まず の領域 の4頂点を、3つの境界平面の交点として求め、辺ベクトルの作る平行六面体の体積から四面体の体積を出す。整数格子点数については、各格子点のまわりの単位立方体で領域を上下から挟むと、境界付近の差は 程度に抑えられるため、 で割った極限は体積になる。
解答
のときの領域を とする。一般の の領域は、 を原点を中心として 倍に拡大したもの、すなわち である。 の頂点を求める。4つの境界平面のうち3つを等号にして解くと、頂点は である。したがって は四面体である。
例えば を基準にすると、残り3頂点へ向かう辺ベクトルは である。この3本でできる平行六面体の体積は、行列式で
である。四面体の体積はその だから である。
ここで、 の体積は である。整数格子点の個数 と体積の関係を確認する。各整数格子点を中心とする一辺1の立方体を考えると、 の内部に十分入っている格子点は体積で数えられ、食い違いは境界付近の厚さ一定の部分だけで起こる。四面体の面積は拡大率により 程度なので、この食い違いは 程度である。したがって で割ると境界の影響は0に近づく。
よって である。
別解。次の一次式を新しい座標として見る。 このとき4つ目の左辺は である。したがって では となる。, , とおけば であり、これは 空間で体積 の四面体である。一方、 から への変換で単位立方体は体積4の平行六面体に移るので、もとの 空間での体積は となる。よって同じ極限 を得る。