東京大学 1995年度
理系数学 第6問

解答

(1)

双曲線上の点 $P$ を $P=(au,bv)$ とおく。このとき $u^2-v^2=1$ である。点 $P$ における接線は $\frac{ux}{a}-\frac{vy}{b}=1$ であり，2つの漸近線は $y=\frac{b}{a}x,y=-\frac{b}{a}x$ である。

接線と $y=\frac{b}{a}x$ との交点を $Q$ とすると，$\frac{ux}{a}-\frac{v}{b}\cdot \frac{b}{a}x=1$ より $\frac{(u-v)x}{a}=1$ である。したがって $Q=\left(\frac{a}{u-v},\frac{b}{u-v}\right)$ である。同様に，接線と $y=-\frac{b}{a}x$ との交点を $R$ とすると $R=\left(\frac{a}{u+v},-\frac{b}{u+v}\right)$ である。ここで $(u-v)(u+v)=u^2-v^2=1$ なので，分母は0ではない。

三角形 $OQR$ の面積は $S=\frac{1}{2}\left|x_Q{y}_R-y_Q{x}_R\right|$ であるから，

である。よって

となる。したがって $S$ は点 $P$ のとり方によらず，$a,b$ のみによって定まる。

別解。$X=x/a$，$Y=y/b$ とおくと，双曲線は $X^2-Y^2=1$，漸近線は $Y=\pm X$ になる。この標準化した平面で同じ計算をすると，接線と2本の漸近線でできる三角形の面積は1で一定である。もとの $xy$ 平面は横方向に $a$ 倍，縦方向に $b$ 倍した図形なので，面積は $ab$ 倍される。したがって $S=ab$ と分かる。

(2)

(1)より $S=ab=(5e^{2t}+e^{-t})(e^{2t}+e^{-t})$ である。$z=e^t$ とおくと $z>0$ であり，$S=(5z^2+z^{-1})(z^2+z^{-1})=5z^4+6z+z^{-2}$ となる。これを $z$ で微分すると $\frac{dS}{dz}=20z^3+6-2z^{-3}$ である。$dS/dz=0$ とおくと $20z^3+6-\frac{2}{z^3}=0$ であり，$z^3$ をかけて $20z^6+6z^3-2=0$ を得る。$w=z^3$ とおくと $w>0$ で，$10w^2+3w-1=0$ である。これを解くと $w=\frac{1}{5},-\frac{1}{2}$ であり，$w>0$ より $z^3=\frac{1}{5}$ である。

また $\frac{d^{2}S}{d{z}^2}=60z^2+6z^{-4}>0$ なので，この点で $S$ は最小となる。$z^3=1/5$ のとき，$5z^4=z$，$z^{-2}=5z$ であるから，$S=5z^4+6z+z^{-2}=z+6z+5z=12z$ である。$z=5^{-1/3}$ より，求める最小値は $\frac{12}{\sqrt[3]{5}}$ である。