東京大学 1995年度理系数学第5問解答・解説

問題

サイコロを $n$ 回投げて， $x y$ 平面上の点 $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{n}$ を次の規則(a)，(b)によって定める。

(a) $P_{0} = (0, 0)$

(b) $1 ≦ k ≦ n$ のとき， $k$ 回目に出た目の数が $1, 2, 3, 4$ のときには， $P_{k - 1}$ をそれぞれ東，北，西，南に $(\frac{1}{2})^{k}$ だけ動かした点を $P_{k}$ とする。また $k$ 回目に出た目の数が $5, 6$ のときには $P_{k} = P_{k - 1}$ とする。ただし $y$ 軸の正の向きを北と定める。

このとき以下の問いに答えよ。

(1) $P_{n}$ が $x$ 軸上にあれば， $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{n - 1}$ もすべて $x$ 軸上にあることを示せ。

(2) $P_{n}$ が第1象限 ${(x, y) ∣ x > 0, y > 0}$ にある確率を $n$ で示せ。

出典：東京大学 1995年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

移動距離が $(1/2)^{k}$ と半分ずつ小さくなるため，ある方向成分について最初に0でなくなった移動は，その後の同方向成分の全移動量を合わせても打ち消せない。(1) は $y$ 座標でこの事実を示す。(2) では $x$ 座標が0になる事象と $y$ 座標が0になる事象を数え，両方が0でない場合は東西反転・南北反転の対称性により4象限が等確率になることを使う。

解答

(1)

$P_{k}$ の $y$ 座標を $Y_{k}$ とする。 $P_{n}$ が $x$ 軸上にあるとは， $Y_{n} = 0$ であることを意味する。

もし途中で北または南への移動が一度でも起こったと仮定し，その最初の時刻を $m$ とする。このとき $m$ 回目の $y$ 方向の移動量の絶対値は $(\frac{1}{2})^{m}$ である。一方， $m + 1$ 回目以降に起こり得る $y$ 方向の移動量の絶対値の総和は，高々

(\frac{1}{2})^{m + 1} + (\frac{1}{2})^{m + 2} + \dots + (\frac{1}{2})^{n} < (\frac{1}{2})^{m}

である。したがって，最初の $y$ 方向の移動を，その後の移動で完全に打ち消すことはできない。これは $Y_{n} = 0$ に反する。

よって， $P_{n}$ が $x$ 軸上にあるなら，北または南への移動は一度も起こっていない。したがって $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{n - 1}$ もすべて $x$ 軸上にある。

(2)

(1) と同じ議論を $x$ 方向にも用いると， $x$ 座標が0であることは，東または西への移動が一度も起こらないことと同値である。したがって $Pr (x = 0) = (\frac{4}{6})^{n} = (\frac{2}{3})^{n}$ である。同様に $Pr (y = 0) = (\frac{2}{3})^{n}$ である。また， $x = 0$ かつ $y = 0$ となるのは，毎回5または6が出て，点が一度も動かない場合に限られるから， $Pr (x = 0, y = 0) = (\frac{2}{6})^{n} = (\frac{1}{3})^{n}$ である。

ゆえに， $x \neq = 0$ かつ $y \neq = 0$ である確率は

1 - Pr (x = 0) - Pr (y = 0) + Pr (x = 0, y = 0) = 1 - 2 (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{1}{3})^{n}

である。

次に， $x \neq = 0$ かつ $y \neq = 0$ の場合を考える。さいころの目1と3を入れ替える対応を考えると，東と西が入れ替わり， $x$ 座標の符号だけが反転する。同様に，目2と4を入れ替える対応を考えると， $y$ 座標の符号だけが反転する。どちらの対応も起こり方の数と確率を保つので，4つの象限に入る確率は等しい。

したがって，第1象限にある確率はその4分の1であり，

\frac{1}{4} {1 - 2 (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{1}{3})^{n}}

である。

東京大学 1995年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1995年度
理系数学第5問