問題
を正の整数とする。の正の約数に対し
とおく。このとき，次の各に対しての最小値を求めよ。
(1) ，ただしは正の整数
(2)
出典：東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
と は対になっており，和は2つの数が に近いほど小さくなる。(1) では約数を と書き， と ができるだけ近い場合を調べる。(2) では の平方根の直下にある約数を探し，対応する相手の約数との和を求める。
解答
(1)
の正の約数は と表される。このとき である。 とおくと， である。したがって が より小さい間は減少し， を過ぎると増加する。つまり， と ができるだけ近いときに最小となる。 のときは で最小となり， である。 のときは または で最小となり， である。
(2)
である。正の実数 について とおくと， では である。よって，約数 の中では， が大きいほど は小さくなる。
ここで より である。また は の約数であり， である。 だから， 以下の整数は高々70であり，その中で70が約数になっている。したがって最小値は である。