東京大学 1995年度
理系数学 第2問

解答

まず $g$ を微分する。定義より $g(x)={\int }_0^x(x-t)f(t)dt=x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt$ である。したがって $g^{\prime }(x)={\int }_0^{x}f(t)dt+xf(x)-xf(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ となり，さらに $g^{\prime \prime }(x)=f(x)=1-\sin x$ である。任意の実数 $x$ について $-1\leqq \sin x\leqq 1$ だから $g^{\prime \prime }(x)=1-\sin x\geqq 0$ である。

次に $x$ を固定し，$H(y)=g(x+y)+g(x-y)-2g(x)$ とおく。$H(y)=H(-y)$ なので $H$ は偶関数である。よって $y\geqq 0$ の場合を示せば十分である。 $H(0)=0$ であり，$H^{\prime }(y)=g^{\prime }(x+y)-g^{\prime }(x-y)$ だから $H^{\prime }(0)=0$ である。また $H^{\prime \prime }(y)=g^{\prime \prime }(x+y)+g^{\prime \prime }(x-y)\geqq 0$ である。したがって $y\geqq 0$ では $H^{\prime }(y)$ は増加関数であり，$H^{\prime }(0)=0$ から $H^{\prime }(y)\geqq 0$ である。さらに $H(0)=0$ なので $H(y)\geqq 0(y\geqq 0)$ となる。偶関数性より $y<0$ でも同じ不等式が成り立つ。

以上より，任意の実数 $x,y$ について $g(x+y)+g(x-y)\geqq 2g(x)$ が成り立つ。

別解。上の $H(y)$ について，$y\geqq 0$ とすると $H(y)={\int }_0^y\{g^{\prime }(x+s)-g^{\prime }(x-s)\}ds$ である。また $g^{\prime }(x+s)-g^{\prime }(x-s)={\int }_{x-s}^{x+s}{g}^{\prime \prime }(t)dt$ であり，$g^{\prime \prime }(t)=1-\sin t\geqq 0$ である。したがって内側の積分も外側の積分も0以上であり，$H(y)\geqq 0$ が従う。