東京大学 1994年度文系数学第4問解答・解説

問題

$0 < c < 1$ とする。3次関数 $f (x) = - 4 x^{3} + 3 x^{2}$ に対し，

f_{1} (x) = f (x) + \int_{0}^{c} f (t) d t, f_{2} (x) = f (x) + \int_{0}^{c} f_{1} (t) d t

とおく。以下，関数 $f_{3} (x)$ ， $f_{4} (x)$ ， $\dots$ を順次

f_{n} (x) = f (x) + \int_{0}^{c} f_{n - 1} (t) d t (n = 3, 4, \dots)

により定める。

(1) 関数 $f_{n} (x)$ を求めよ。

(2) $f_{n} (x)$ について， $0 < x < 1$ のとき， $f_{n} (x) = 0$ を満たす $x$ がただひとつ存在することを示せ。

出典：東京大学 1994年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

定義から各 $f_{n} (x)$ は元の3次関数 $f (x)$ に定数を加えた形になる。そこで $f_{n} (x) = f (x) + C_{n}$ とおき， $C_{n}$ だけの漸化式を作る。(1)では $\int_{0}^{c} f (t) d t = c^{3} (1 - c)$ を計算し，等比数列の和で $C_{n} = c^{3} (1 - c^{n})$ を得る。(2)では $f_{n} (0) > 0$ ， $f_{n} (1) < 0$ から存在を示し， $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ が $3/4 < x < 1$ で単調減少することを使って一意性を示す。

解答

(1)

まず

\int_{0}^{c} f (t) d t = \int_{0}^{c} (- 4 t^{3} + 3 t^{2}) d t = [- t^{4} + t^{3}]_{0}^{c} = c^{3} - c^{4} = c^{3} (1 - c)

である。

定義式では， $x$ を含む部分は常に $f (x)$ だけであり，積分で加わる部分は定数である。そこで $f_{n} (x) = f (x) + C_{n}$ とおく。 $n = 1$ では $C_{1} = c^{3} (1 - c)$ である。また $n ≧ 2$ では

C_{n} = \int_{0}^{c} f_{n - 1} (t) d t = \int_{0}^{c} {f (t) + C_{n - 1}} d t = c^{3} (1 - c) + c C_{n - 1}

である。

したがって $C_{n} = c^{3} (1 - c) (1 + c + \dots + c^{n - 1})$ となる。 $0 < c < 1$ より $1 + c + \dots + c^{n - 1} = \frac{1 - c ^{n}}{1 - c}$ であるから $C_{n} = c^{3} (1 - c^{n})$ を得る。よって $f_{n} (x) = - 4 x^{3} + 3 x^{2} + c^{3} (1 - c^{n})$ である。

(2)

$0 < c < 1$ より $0 < c^{3} < 1$ ，また $0 < 1 - c^{n} < 1$ であるから $0 < c^{3} (1 - c^{n}) < 1$ である。したがって $f_{n} (0) = c^{3} (1 - c^{n}) > 0$ であり，また $f_{n} (1) = - 4 + 3 + c^{3} (1 - c^{n}) = - 1 + c^{3} (1 - c^{n}) < 0$ である。連続性より， $0 < x < 1$ に少なくとも1つ解が存在する。

一意性を示す。 $h (x) = - 4 x^{3} + 3 x^{2} = x^{2} (3 - 4 x)$ とおく。 $0 < x ≦ 3/4$ では $h (x) ≧ 0$ なので $f_{n} (x) = h (x) + c^{3} (1 - c^{n}) > 0$ である。したがって解は $3/4 < x < 1$ にしか現れない。

一方， $h^{'} (x) = - 12 x^{2} + 6 x = 6 x (1 - 2 x)$ であるから， $3/4 < x < 1$ では $h^{'} (x) < 0$ である。よって $f_{n} (x) = h (x) + c^{3} (1 - c^{n})$ もこの区間で単調に減少する。さらに $f_{n} (\frac{3}{4}) = c^{3} (1 - c^{n}) > 0, f_{n} (1) < 0$ であるから， $3/4 < x < 1$ に解はただ一つ存在する。

以上より， $0 < x < 1$ で $f_{n} (x) = 0$ を満たす $x$ はただ一つである。

東京大学 1994年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1994年度
文系数学第4問