問題
平面上で，次の条件を満たす点の範囲をとする。
(1) を平面上に図示せよ。
(2) のとき，の上での最大値を求め，関数のグラフを平面上に図示せよ。
出典：東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まず対数の真数条件を確認し，を用いて，与えられた不等式を，の不等式へ同値変形する。領域は下側が直線，上側が放物線で，交点条件からに限られる。(2)ではがについて増加するため，上側境界だけを調べればよい。したがってをで最大化し，軸が区間内に入るかどうかでを境に分ける。グラフは左側が直線，右側が放物線の一部になる。
解答
(1)
対数が定義されるためには が必要である。この条件のもとで，であるから，問題の不等式は と同値である。底はより大きいので と同値である。したがって である。
上下の境界が交わるためには でなければならない。いまであるから，で割って を得る。よっては で表される。図では，直線と放物線で囲まれる部分を塗る。ただし上の点は含まず，交点は含む。
(2)
とする。の各に対し，はが大きいほど大きい。したがって最大値は上側境界 上で調べればよい。そこで とおく。 は上に凸の2次関数で，軸は である。よりである。 のとき，であるから軸の位置で最大となり， である。 のとき，である。区間ではは右端まで増加するので， である。
以上より
である。は定義域に含まれないので，右端はへ近づくが含まない。
別解。(2)は直線族で考えてもよい。の最大値をとすると，直線を上から下げて，はじめてに接する位置のが求める値である。放物線に接する場合，接線の傾きはなので である。これがに入る条件はであり，このときである。接点が右に出るでは，直線は右端で支えられるからとなる。