東京大学 1994年度
文系数学 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文科一類・文科二類・文科三類
- 分野
- 図形と方程式、関数
- 解法
- 絶対値の処理、場合分け、軌跡
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 15分
問題
xy平面上の2点P，Qに対し，PとQをx軸またはy軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値をd(P,Q)で表す。
(1) 原点O(0,0)と点A(1,3)に対し，d(O,P)=d(P,A)を満たす点P(x,y)の範囲をxy平面上に図示せよ。
(2) 点A(1,3)と点B(−1,1)に対し，d(A,P)=d(P,B)を満たす点P(x,y)の範囲をxy平面上に図示せよ。
出典：東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
折れ線距離はd((x1,y1),(x2,y2))=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣である。各小問で，x方向の距離差とy方向の距離差を別々に表にし，その和が0になる条件を読む。(1)では境界x=0,1とy=0,3，(2)では境界x=−1,1とy=1,3で式が変わる。最終的には，水平半直線と斜め線分，さらに水平半直線からなる折れ線または領域として図示する。
解答
(1)
P=(x,y)とする。折れ線距離の定義から d(O,P)=∣x∣+∣y∣,d(P,A)=∣x−1∣+∣y−3∣ である。したがって条件は ∣x∣+∣y∣=∣x−1∣+∣y−3∣ である。 ϕ(x)=∣x∣−∣x−1∣ とおくと
ϕ(x)=⎩⎨⎧−12x−11(x≦0),(0≦x≦1),(x≧1)
である。また ψ(y)=∣y∣−∣y−3∣ とおくと
ψ(y)=⎩⎨⎧−32y−33(y≦0),(0≦y≦3),(y≧3)
である。求める条件はϕ(x)+ψ(y)=0である。 x≦0ではϕ(x)=−1なのでψ(y)=1，すなわちy=2である。 0≦x≦1ではψ(y)=1−2xであり，0≦y≦3の式から2y−3=1−2x，すなわちy=2−xである。 x≧1ではϕ(x)=1なのでψ(y)=−1，すなわちy=1である。
よって求める点の範囲は
⎩⎨⎧y=2y=2−xy=1(x≦0),(0≦x≦1),(x≧1)
で表される折れ線である。
(2)
条件は ∣x−1∣+∣y−3∣=∣x+1∣+∣y−1∣ である。そこで Φ(x)=∣x−1∣−∣x+1∣,Ψ(y)=∣y−3∣−∣y−1∣ とおくと，求める条件はΦ(x)+Ψ(y)=0である。
Φ(x)=⎩⎨⎧2−2x−2(x≦−1),(−1≦x≦1),(x≧1)
であり，
Ψ(y)=⎩⎨⎧24−2y−2(y≦1),(1≦y≦3),(y≧3)
である。 x≦−1ではΦ(x)=2なのでΨ(y)=−2，よってy≧3である。 −1≦x≦1ではΨ(y)=2xとなる。これは1≦y≦3の範囲で 4−2y=2x となるから，y=2−xである。 x≧1ではΦ(x)=−2なのでΨ(y)=2，よってy≦1である。
したがって求める範囲は {(x,y)∣x≦−1, y≧3} と {(x,y)∣−1≦x≦1, y=2−x} と {(x,y)∣x≧1, y≦1} の和集合である。図では左上の領域，中央の線分，右下の領域を続けて描けばよい。
