東京大学 1994年度
文系数学 第3問

解答

とおくと $A=(1+a)I+B$ である。$\vec{u}=(\cos \theta ,\sin \theta )$と書くと

であるから

である。また$|\vec{u}|=1$である。

まず三角不等式より

である。$0<a\leqq 1$より$1+a\leqq 2$，$\sqrt{1+a^2}\leqq \sqrt{2}$なので $|A\vec{u}|\leqq 2+\sqrt{2}$ を得る。

次に逆向きの三角不等式より $|A\vec{u}|\geqq (1+a)|\vec{u}|-|B\vec{u}|=1+a-\sqrt{1+a^2}$ である。あとは $1+a-\sqrt{1+a^2}\geqq (2-\sqrt{2})a$ を示せばよい。これは $1+(\sqrt{2}-1)a\geqq \sqrt{1+a^2}$ と同値であり，両辺は正である。平方して比べると $\{1+(\sqrt{2}-1)a{\}}^2-(1+a^2)=2(\sqrt{2}-1)a(1-a)\geqq 0$ となるから，確かに成り立つ。

以上より $(2-\sqrt{2})a\leqq |A\vec{u}|\leqq 2+\sqrt{2}$ である。

別解。 $|A\vec{u}|$の大きさを直接調べることもできる。

であるから，整理すると $|A\vec{u}{|}^2=(1+a{)}^2+(1+a^2)+2(1+a)\{-a\cos 2\theta +\sin 2\theta \}$ である。任意の$\theta$に対して $-\sqrt{1+a^2}\leqq -a\cos 2\theta +\sin 2\theta \leqq \sqrt{1+a^2}$ が成り立つので $\{1+a-\sqrt{1+a^2}{\}}^2\leqq |A\vec{u}{|}^2\leqq \{1+a+\sqrt{1+a^2}{\}}^2$ である。平方根をとれば，先ほどと同じ上下評価が得られる。