東京大学 1993年度文系数学第4問解答・解説

問題

$0 ≦ t ≦ 2$ の範囲にある $t$ に対し，方程式 $x^{4} - 2 x^{2} - 1 + t = 0$ の実数解のうち最大のものを $g_{1} (t)$ ，最小のものを $g_{2} (t)$ とおく。

\int_{0}^{2} (g_{1} (t) - g_{2} (t)) d t

を求めよ。

出典：東京大学 1993年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

方程式は $x^{2}$ についての2次方程式に直せる。 $0 ≦ t ≦ 2$ では非負の候補が一つだけ残り，実数解は正負対称になるので， $g_{1} (t) - g_{2} (t)$ をすぐに表せる。積分では $u = 2 - t$ と置き，さらに $1 + u$ の累乗積分へ落とす。別解として，最大の正の解そのものを新しい変数にすると，置換が一段で整理できる。

解答

$y = x^{2}$ とおくと，方程式は $y^{2} - 2 y - 1 + t = 0$ である。これを解くと $y = 1 \pm 2 - t$ である。 $0 ≦ t ≦ 2$ では $0 ≦ 2 - t ≦ 2$ なので， $1 - 2 - t$ は負になることもあるが，実数解の最大・最小を与えるのは常に $y = 1 + 2 - t$ である。したがって $g_{1} (t) = 1 + 2 - t, g_{2} (t) = - 1 + 2 - t$ であり， $g_{1} (t) - g_{2} (t) = 2 1 + 2 - t$ となる。

よって求める積分は $\int_{0}^{2} {g_{1} (t) - g_{2} (t)} d t = \int_{0}^{2} 2 1 + 2 - t d t$ である。 $u = 2 - t$ とおくと $t = 2 - u^{2}, d t = - 2 u d u$ であり， $t = 0$ のとき $u = 2$ ， $t = 2$ のとき $u = 0$ である。したがって $\int_{0}^{2} 2 1 + 2 - t d t = 4 \int_{0}^{2} u 1 + u d u$ となる。

さらに $w = 1 + u$ とおくと $4 \int_{0}^{2} u 1 + u d u = 4 \int_{1}^{1 + 2} (w - 1) w^{1/2} d w$ である。よって

4 \int_{1}^{1 + 2} (w - 1) w^{1/2} d w = 4 [\frac{2}{5} w^{5/2} - \frac{2}{3} w^{3/2}]_{1}^{1 + 2}

であり，求める値は $\frac{8}{15} {3 (1 + 2)^{5/2} - 5 (1 + 2)^{3/2} + 2}$ である。

別解。 $s = 1 + 2 - t$ と直接おくと， $s > 0$ で $s^{2} = 1 + 2 - t, t = 2 - (s^{2} - 1)^{2}$ である。 $t = 0$ で $s = 1 + 2$ ， $t = 2$ で $s = 1$ となり， $d t = - 4 s (s^{2} - 1) d s$ である。したがって

\int_{0}^{2} (g_{1} (t) - g_{2} (t)) d t = \int_{1 + 2}^{1} 2 s {- 4 s (s^{2} - 1)} d s

= 8 \int_{1}^{1 + 2} (s^{4} - s^{2}) d s = 8 [\frac{s ^{5}}{5} - \frac{s ^{3}}{3}]_{1}^{1 + 2},

これは上の答えと同じである。

東京大学 1993年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

東京大学 1993年度
文系数学第4問