問題
空間内の原点を中心とする半径1の球面
を考え，上の定点をとする。と異なる上の点に対し，直線と平面の交点をとする。
を正の定数とし，点が
を満たしながら動くとき，対応する点の動く範囲を平面上に図示せよ。
出典：東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
点 から球面上の点 を 平面へ移す射影を，直線の媒介表示で座標化する。まず を で表し，次に逆に から を復元する。すると ， は2つの円の内部， は原点中心の円の外部になる。そもそも球面上に3つの座標がすべて 以上の点が存在する条件 も最初に分けておく。
解答
直線 上の点は，実数 を用いて と表される。 はこの直線と 平面の交点なので， 座標が0になればよい。したがって より である。 なので であり， を得る。
逆に から を求める。 とおく。直線 上の点は であり，これが球面上にある条件は である。整理すると となる。 は点 なので， に対応するのは である。したがって
である。
まず，条件を満たす が存在するには
が必要である。よって のときは求める範囲は空である。
以下 とする。このとき である。 は と同値であり，両辺に正の数 を掛けて を得る。平方完成すると である。同様に は である。
また は である。 だから すなわち を得る。
したがって のとき，点 の動く範囲は をすべて満たす部分である。図では，中心 ，，半径 の2つの円の共通内部から，原点中心で半径 の円の内部を除いた部分を塗る。 ではこの部分は1点だけになり， では面積をもつ領域になる。