東京大学 1993年度文系数学第2問解答・解説

問題

整数からなる数列 ${a_{n}}$ を漸化式 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 7 a_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ で定める。 $a_{n}$ が偶数となる $n$ を決定せよ。

出典：東京大学 1993年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

偶数になるかだけを問うので，数列そのものではなく2で割った余りを追えばよい。漸化式では $3$ も $- 7$ も2で割ると $1$ に等しいため，余りは $b_{n + 2} = b_{n + 1} + b_{n}$ で進む。初期値から $1, 1, 0$ の周期を確認し，周期が戻る理由を組で示して，偶数となる番号を決定する。

解答

$b_{n}$ を $a_{n}$ を2で割った余りとする。漸化式を2で割ると $b_{n + 2} \equiv b_{n + 1} + b_{n} (mod 2)$ である。また $b_{1} \equiv 1, b_{2} \equiv 1 (mod 2)$ であるから $b_{3} \equiv 1 + 1 \equiv 0 (mod 2)$ となる。さらに $b_{4} \equiv b_{3} + b_{2} \equiv 1, b_{5} \equiv b_{4} + b_{3} \equiv 1 (mod 2)$ で， $(b_{4}, b_{5}) = (1, 1)$ となり，初めの組 $(b_{1}, b_{2})$ に戻る。

したがって余りは $1, 1, 0, 1, 1, 0, \dots$ と周期3で繰り返す。よって $a_{n}$ が偶数となるのは，余りが0になる $n \equiv 0 (mod 3)$ のときである。すなわち求める $n$ は3の倍数である。

別解。上の合同式から

b_{n + 3} \equiv b_{n + 2} + b_{n + 1} \equiv (b_{n + 1} + b_{n}) + b_{n + 1} \equiv b_{n} (mod 2)

である。したがってすべての $n$ について $b_{n + 3} = b_{n}$ が成り立つ。 $b_{1} = b_{2} = 1$ ， $b_{3} = 0$ なので，やはり $n$ が3の倍数のとき，かつそのときに限って $a_{n}$ は偶数である。

東京大学 1993年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

東京大学 1993年度
文系数学第2問