問題
3次関数は極大値と極小値をもち，それらを区間内でとるものとする。この条件を満たすような実数の組の範囲を平面上に図示せよ。
方針
極大値と極小値は，導関数 の相異なる2つの零点で与えられる。したがって問題は，この2次関数の2つの実数解がどちらも に入る条件に言い換えられる。下に凸の2次関数について，軸が区間内にあり，両端の値が0以上，頂点の値が負であることを確認すれば，2つの交点が区間内に収まる。最後は 平面で，2本の直線の上側かつ放物線の下側として図示する。
解答
導関数は である。3次関数 が極大値と極小値をもつためには， が相異なる2つの実数解をもつ必要があり，またそれで十分である。この2つの解を とすると，極値をとる点が区間 に入る条件は である。 とおく。 は下に凸で，軸は である。2つの解がともに に入ることは，次の4条件と同値である。 実際，軸が区間内にあり，頂点で負，両端で0以上なら，グラフは区間の内部または端点で2回 軸と交わる。逆に2つの解が区間内にあれば，軸はその中点なので区間内にあり，区間の両端は2つの解の外側にあるから値は0以上である。
各条件を計算する。軸の条件から である。また より を得る。さらに
であるから である。
したがって求める範囲は
をすべて満たす部分である。図示すると， と の間で，2直線 ， の両方の上側，かつ放物線 の下側である。直線の境界は含むが，放物線の境界は相異なる2つの解を失うので含まない。
別解。 の2つの解を直接 とおく方法もある。 として と書くと である。このとき となり，先ほどの2つの直線条件が出る。また相異なる2解をもつことは判別式が正，すなわち と同じなので を得る。軸は2解の中点であるから も従い，同じ範囲になる。