東京大学 1991年度
文系数学 第4問

解答

(1)

底面正方形の中心を $O$、正四角錐の頂点を $T$ とする。球の中心は底面上にあり、正四角錐全体の対称性から $O$ に一致する。底面の4辺にも接するので、球の半径を $R$ とすると $R=\frac{a}{2}$ である。

底面を $z=0$ に置き、$O=(0,0,0),T=(0,0,h),A=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$ とする。ここで $A$ は底面の1頂点であり、側辺 $TA$ は球に接する。したがって、点 $O$ から直線 $TA$ までの距離が $a/2$ である。

直線 $TA$ の方向ベクトルは $\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},-h\right)$ である。点 $O$ から直線 $TA$ までの距離は、三角形 $OTA$ の面積を用いて

である。よって $\frac{ha/\sqrt{2}}{\sqrt{h^2+a^2/2}}=\frac{a}{2}$ である。両辺を2乗して整理すると $\frac{h^2{a}^2}{2}=\frac{a^2}{4}\left(h^2+\frac{a^2}{2}\right)$ であり、$a>0$ より $\frac{h^2}{2}=\frac{h^2}{4}+\frac{a^2}{8}$ となる。したがって $h^2=\frac{a^2}{2}$ であるから、求める高さは $\frac{a}{\sqrt{2}}$ である。

(2)

以後 $R=a/2$ とおく。(1)より頂点の高さは $R\sqrt{2}$ である。側面の1つ、たとえば $x=R$ 側の底辺を含む側面は $x+\frac{z}{\sqrt{2}}=R$ と表される。実際、この平面は底辺上の点 $(R,y,0)$ と頂点 $(0,0,R\sqrt{2})$ を通る。

中心 $O$ からこの側面までの距離を $d$ とすると $d=\frac{R}{\sqrt{1+1/2}}=R\sqrt{\frac{2}{3}}$ である。球と錐の共通部分は、上半球から、4つの側面の外側へ出る合同な球冠を取り除いた部分である。側辺が球に接しているので、隣り合う球冠は接するだけで内部は重ならない。

半径 $R$ の球を、中心から距離 $d$ の平面で切る。外側に切り落とされる球冠の高さは $H=R-d=R\left(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ である。球冠体積は、切断平面から頂点方向へ距離 $u$ を測ると断面半径の2乗が $H^2-u^2+2u(R-H)$ となるので ${\int }_0^H\pi \{R^2-(R-H+u{)}^2\}du=\frac{\pi H^2(3R-H)}{3}$ である。

したがって求める体積 $V$ は $V=\frac{2\pi R^3}{3}-4\cdot \frac{\pi H^2(3R-H)}{3}$ である。ここで $s=\sqrt{\frac{2}{3}}$ とおくと、$H=R(1-s)$ であり $H^2(3R-H)=R^3(1-s{)}^2(2+s)$ である。さらに $(1-s{)}^2(2+s)=2-3s+s^3=2-3s+\frac{2}{3}s=2-\frac{7}{3}s$ だから

である。$R=a/2$、$s=\sqrt{6}/3$ を代入して

を得る。