東京大学 1991年度文系数学第1問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 4$ の，区間

- \frac{7}{4} ≦ x ≦ 3

での最大値と最小値を求めよ。

出典：東京大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

導関数で区間内の増減が変わる点をすべて拾い、両端の値と合わせて比較する。臨界点は二次方程式で2つ出るので、どちらも区間 $- 7/4 ≦ x ≦ 3$ に入ることを先に確認する。臨界点での関数値は、そのまま3乗を代入せず、 $3 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ から $x^{2}$ 、 $x^{3}$ を低次化して計算する。最後は最大候補・最小候補を端点も含めて比較する。

解答

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x - 3$ である。よって $f^{'} (x) = 0$ は $3 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ すなわち $x = \frac{2 \pm 13}{3}$ を与える。ここで $- \frac{7}{4} < \frac{2 - 13}{3} < \frac{2 + 13}{3} < 3$ であるから、2つの臨界点はいずれも指定区間に含まれる。

端点での値は

f (- \frac{7}{4}) = - \frac{343}{64} - \frac{49}{8} + \frac{21}{4} + 4 = - \frac{143}{64}, f (3) = 27 - 18 - 9 + 4 = 4

である。

次に臨界点での値を求める。 $3 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ を満たす $x$ について $x^{2} = \frac{4 x + 3}{3}$ であり、さらに

x^{3} = x \cdot \frac{4 x + 3}{3} = \frac{4 x ^{2} + 3 x}{3} = \frac{4 ( 4 x + 3 ) /3 + 3 x}{3} = \frac{25 x + 12}{9}

である。したがって

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 4 = \frac{25 x + 12}{9} - \frac{2 ( 4 x + 3 )}{3} - 3 x + 4 = \frac{30 - 26 x}{9}

となる。よって

f (\frac{2 - 13}{3}) = \frac{38 + 26 13}{27}, f (\frac{2 + 13}{3}) = \frac{38 - 26 13}{27}

である。

候補値は

- \frac{143}{64}, 4, \frac{38 + 26 13}{27}, \frac{38 - 26 13}{27}

である。最大については $\frac{38 + 26 13}{27} > 4$ が成り立つ。最小については

\frac{38 - 26 13}{27} - (- \frac{143}{64}) = \frac{6293 - 1664 13}{1728} > 0

である。実際、両辺正として二乗すれば $629 3^{2} > 166 4^{2} \cdot 13$ が確認できる。したがって左端の値の方が小さい。

以上より、最大値は $\frac{38 + 26 13}{27}$ で、最小値は $- \frac{143}{64}$ である。

東京大学 1991年度文系数学 第1問

問題

方針

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東京大学 1991年度
文系数学第1問