問題
空間の点 と， 平面上の曲線 を考える。点 がこの曲線上を動くとき，直線 が 平面と出会う点 のえがく図形を とする。
平面上で を図示せよ。
出典：東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
曲線上の点を と置き、直線 を1つのパラメータで表す。 平面との交点は から決まるが、 では直線全体が 上にあり交点を持たないので除外する。得られた の表示から を消去し、双曲線のどの枝が実際に現れるか、端点 、 の含まれ方まで調べて図示する。
解答
曲線 上の点を とおく。直線 上の点は、実数 を用いて と表される。この点が 平面上にあるための条件は である。
ここで のときは も も 上にあるので、直線 は 平面と交わらない。したがって としてよい。このとき である。
交点を とすると である。これより となる。したがって すなわち である。
次に、双曲線のどの部分が現れるかを調べる。 では であり、 のとき を与える。一方、 では であり、 には有限の では到達しない。
逆に、双曲線 上で または を満たす点については がそれぞれ または を満たし、 の符号に合わせて を選べば上の表示から得られる。
よって は双曲線 のうち である。図では中心 、左右に開く双曲線を描き、左枝は を含み、右枝は を白丸で除く。