東京大学 1991年度文系数学第3問解答・解説

問題

二辺の長さが $1$ と $a$ の長方形の頂点 $A, B, C, D$ および対角線の共有点 $E$ を中心として，半径 $r$ の円を5つえがく。どの2つの円の内部も共通部分をもたないようにして半径 $r$ を最大にするとき，5つの円が長方形から切りとる面積を $S (a)$ とする。

$a$ の関数

\frac{S ( a )}{a}

のグラフの概形をえがけ。

出典：東京大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

5つの円の内部が重ならない条件は、任意の2中心間距離が $2 r$ 以上であることに等しい。関係する最短距離は、長方形の辺 $1, a$ と、中心 $E$ から各頂点までの距離 $1 + a^{2} /2$ である。よって最大の $r$ はその最小値の半分になる。切り取られる面積は、4頂点でできる四分円4つと、内部の中心円1つの和なので $2 π r^{2}$ 。最後に最小値がどれになるかを $a$ の範囲で分け、 $S (a) / a$ の増減と接続点を調べて概形を描く。

解答

長方形の辺の長さは $1$ と $a$ である。5つの中心は4頂点と対角線の交点 $E$ であるから、内部が重ならないためには、どの2中心の距離も $2 r$ 以上でなければならない。

中心間距離のうち最小値に関係するものは、隣り合う頂点間の距離 $1, a$ および、 $E$ と各頂点の距離 $\frac{1 + a ^{2}}{2}$ である。したがって、最大の半径は $r = \frac{1}{2} min (1, a, \frac{1 + a ^{2}}{2})$ である。

このとき $r ≦ 1/2$ 、 $r ≦ a /2$ なので、頂点を中心とする円が長方形内に切り取る部分はそれぞれ四分円である。4つ合わせると半径 $r$ の円1個分になる。また中心 $E$ の円は長方形の内部に入る。よって $S (a) = π r^{2} + π r^{2} = 2 π r^{2}$ である。

あとは $1, a, \frac{1 + a ^{2}}{2}$ の最小値を場合分けする。まず $a ≦ \frac{1 + a ^{2}}{2}$ は $4 a^{2} ≦ 1 + a^{2}$ すなわち $a ≦ \frac{1}{3}$ と同値である。また $\frac{1 + a ^{2}}{2} ≦ 1$ は $a ≦ 3$ と同値である。したがって

min (1, a, \frac{1 + a ^{2}}{2}) = ⎩ ⎨ ⎧ a \frac{1 + a ^{2}}{2} 1 (0 < a ≦ \frac{1}{3}), (\frac{1}{3} ≦ a ≦ 3), (3 ≦ a)

である。

よって

\frac{S ( a )}{a} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{π a}{2} \frac{π}{8} (a + \frac{1}{a}) \frac{π}{2 a} (0 < a ≦ \frac{1}{3}), (\frac{1}{3} ≦ a ≦ 3), (3 ≦ a)

である。

グラフの概形を整理する。区間 $0 < a ≦ 1/ 3$ では原点に近づく直線 $y = \frac{π a}{2}$ で増加する。区間 $1/ 3 ≦ a ≦ 3$ では $y = \frac{π}{8} (a + \frac{1}{a})$ であり、 $a = 1$ で最小値 $\frac{π}{4}$ をとる。両端 $a = \frac{1}{3}, a = 3$ での値はいずれも $\frac{π}{2 3}$ である。 $a ≧ 3$ では $y = \frac{π}{2 a}$ となり、 $a$ が大きくなるにつれて $0$ に近づく。

したがって、グラフは $a = 1/ 3$ 、 $a = 3$ で滑らかにはつながらない折れ目を持ち、中央区間では $a = 1$ を底とする曲線になる。

東京大学 1991年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

東京大学 1991年度
文系数学第3問