東京大学 1990年度
理系数学 第6問

解答

(1)

まず $\frac{41}{333}=0.\overline{123}$ である。作られる小数をこの数と比べるとき、先頭の3桁を $123$ と比較する。

先頭3桁が $123$ より小さくなるのは、次の場合である。

第1桁は1でなければならない。第2桁が1なら、その時点で $12\cdots$ より小さいので成功である。この確率は $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ である。

第1桁、第2桁がそれぞれ1,2で、第3桁が1または2なら成功である。この確率は $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{2}{6}=\frac{1}{108}$ である。したがって、先頭3桁で成功が確定する確率は $\frac{1}{36}+\frac{1}{108}=\frac{1}{27}$ である。

一方、先頭3桁がちょうど $123$ である確率は $\frac{1}{6^3}=\frac{1}{216}$ であり、この場合だけ、4桁目以降について同じ比較が残る。求める極限の確率を $p$ とすると $p=\frac{1}{27}+\frac{1}{216}p$ である。よって $\left(1-\frac{1}{216}\right)p=\frac{1}{27}$ となり、$p=\frac{8}{215}$ である。

(2)

作られる小数の第1桁は1から6まで等確率である。第1桁が1,2,3である確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ である。したがって、確率が $\frac{1}{2}$ となる境界は、「第1桁が1,2,3のものをすべて含み、第1桁が4のものをまだ含まない」範囲にある。

第1桁が3である小数のうち最大のものは、以後の桁をすべて6にした $0.3666\cdots =\frac{3}{10}+\frac{6}{10^2}+\frac{6}{10^3}+\cdots$ である。これは

である。

また、第1桁が4である小数のうち最小のものは、以後の桁をすべて1にした $0.4111\cdots =\frac{4}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\cdots$ である。これは

である。

よって $\frac{11}{30}\leqq \alpha \leqq \frac{37}{90}$ なら、第1桁が1,2,3である場合はすべて $\alpha$ 以下であり、第1桁が5,6である場合はすべて $\alpha$ より大きい。第1桁が4で、ちょうど最小の列になるような特定の並びは、有限回までで見る確率が限りなく0になるので、極限の確率には影響しない。したがって極限は $\frac{1}{2}$ である。

逆に、$\alpha <\frac{11}{30}$ なら、第1桁が3であっても $\alpha$ を超える並びが正の確率で残るので、確率は $\frac{1}{2}$ より小さい。$\alpha >\frac{37}{90}$ なら、第1桁が4であっても $\alpha$ 以下になる並びが正の確率で加わるので、確率は $\frac{1}{2}$ より大きい。したがって求める範囲は $\frac{11}{30}\leqq \alpha \leqq \frac{37}{90}$ である。