問題
3次関数 は，次の条件(i)，(ii)をみたすものとする。
(i) ，。
(ii) 区間 で極大値 ，極小値 をとる。
このとき，
(1) を求めよ。
(2) 3次関数 が区間 で をみたすとき， なる任意の実数 に対して不等式 が成立することを証明せよ。
方針
(1)は3次関数が端点と内部の極値で を交互に取ることから、4点を通る3次式として決める。(2)は節点 での3次補間表示を用いる。 では各基本式の符号が交互になり、 と の節点値の符号とそろうため、 が従う。 は左右を反転して同様に処理する。
解答
(1)
極大値を1とる点を 、極小値を とる点を とする。3次関数で、端点条件が であることから、極大点は極小点より左にあり、 である。 は を根にもち、さらに極大点 では 、 だから を重解にもつ。したがって、ある定数 を用いて と書ける。同様に、 は を根にもち、極小点 で重解をもつので である。両式の最高次係数は同じなので、定数は同じ でよい。
2式を引くと である。右辺の braces の中を展開すると、 の係数は 、 の係数は である。左辺は定数なので が必要である。第1式から であり、これを第2式へ代入すると を得る。
このとき なので、 より である。したがって となり、展開して である。(2)まず とする。4つの節点 を用いる。3次関数はこの4点での値によって一意に決まるので、任意の3次式はこれらの点での値を使って表せる。 における4つの基本式の符号は、左から順に である。
一方、 の節点での値は である。また、条件 が で成り立つので、連続性から端点でも である。したがって、各節点における の符号は、上の基本式の符号と同じ向きになる。特に内部の2点 では不等号は厳密であるから、補間表示により である。
同じように を見ると、各節点における の符号も基本式の符号と同じ向きになる。内部の2点で厳密なので である。よって では が成り立つ。ここで であるから である。 の場合は、 とおけば、 も区間 で の間に入る3次関数である。上で示した の結果を に適用し、 と戻せば が従う。したがって の任意の実数 で不等式が成り立つ。