東京大学 1990年度理系数学第1問解答・解説

問題

a_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}, b_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{2 k + 1}

とするとき，

n \to \infty lim a_{n}, n \to \infty lim \frac{b _{n}}{a _{n}}

を求めよ。

出典：東京大学 1990年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

まず $a_{n}$ は下から $n$ で押さえれば無限大に発散する。比の極限は、 $2 k + 1$ を $2 k$ と $2 k + 2$ の間に挟み、 $b_{n}$ を $a_{n}$ に近い和で上下から評価する。最後に、1項ずらした和と $a_{n}$ の比が1に近づくことを示してはさみうちを使う。

解答

まず $1 ≦ k ≦ n$ では $\frac{1}{k} ≧ \frac{1}{n}$ である。したがって $a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} ≧ n \cdot \frac{1}{n} = n$ である。よって $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ である。

次に $b_{n} / a_{n}$ を考える。各 $k ≧ 1$ について $2 k < 2 k + 1 < 2 k + 2$ であるから $\frac{1}{2 k + 2} < \frac{1}{2 k + 1} < \frac{1}{2 k}$ である。これを $k = 1, 2, \dots, n$ について足すと

\frac{1}{2} k = 1 \sum n \frac{1}{k + 1} < b_{n} < \frac{1}{2} k = 1 \sum n \frac{1}{k}

すなわち $\frac{1}{2} (a_{n + 1} - 1) < b_{n} < \frac{1}{2} a_{n}$ である。

両辺を $a_{n}$ で割ると

\frac{1}{2} \cdot \frac{a _{n + 1} - 1}{a _{n}} < \frac{b _{n}}{a _{n}} < \frac{1}{2}

である。ここで $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{n + 1}$ だから $\frac{a _{n + 1} - 1}{a _{n}} = 1 + \frac{1/ n + 1 - 1}{a _{n}}$ である。すでに $a_{n} \to \infty$ が分かっているので、右辺は $1$ に近づく。したがってはさみうちにより $lim_{n \to \infty} \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{1}{2}$ である。別解。積分比較で大きさを直接見ることもできる。関数 $1/ x$ は正で減少するので

\int_{1}^{n + 1} \frac{d x}{x} ≦ a_{n} ≦ 1 + \int_{1}^{n} \frac{d x}{x}

である。すなわち $2 (n + 1 - 1) ≦ a_{n} ≦ 1 + 2 (n - 1)$ だから、 $a_{n}$ は無限大に発散し、さらに $a_{n} / (2 n)$ は1に近づく。

同様に、関数 $1/ 2 x + 1$ も正で減少するので

\int_{1}^{n + 1} \frac{d x}{2 x + 1} ≦ b_{n} ≦ \int_{0}^{n} \frac{d x}{2 x + 1}

である。両端はいずれも $n$ が大きいとき $2 n$ と同じ大きさになるため、 $b_{n} / 2 n$ は1に近づく。したがって

n \to \infty lim \frac{b _{n}}{a _{n}} = \frac{2 n}{2 n} = \frac{1}{2}

という見方でも同じ結論を得る。

東京大学 1990年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京大学 1990年度
理系数学第1問