東京大学 1990年度理系数学第4問解答・解説

問題

行列

M = \frac{1}{1 + a ^{2}} \frac{a}{1 + a ^{2}} - \frac{a}{1 + a ^{2}} \frac{1}{1 + a ^{2}}

に対し，点列 $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ を $P_{0} = (1, 0)$ ， $P_{n} = M P_{n - 1}$ により定める。

(1) $a$ が正の実数を動くとき， $△ P_{0} P_{1} P_{2}$ の面積を最大にする $a$ の値を求めよ。

(2) $a$ を(1)で求めた値とする。 $△ P_{0} P_{1} P_{2}, △ P_{1} P_{2} P_{3}, \dots, △ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ の和集合として表される図形の面積を $S_{n}$ とするとき， $lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ。

出典：東京大学 1990年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

行列 $M$ は、平面上の点を複素数で見ると、一定の倍率で縮小しながら一定角だけ回転する操作である。 $P_{n}$ は等比的に並ぶので、(1)は $1, λ, λ^{2}$ の三角形の面積を $a$ の式にして最大化する。(2)は $a = 3$ のとき相似比が $\frac{1}{2}$ 、回転角が60度になり、各三角形の面積が公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列になることを使う。

解答

(1)

点 $(x, y)$ を複素数 $z = x + y i$ と見る。行列 $M$ による変換は $z \mapsto λ z, λ = \frac{1 + ai}{1 + a ^{2}}$ で表される。したがって $P_{0} = 1, P_{1} = λ, P_{2} = λ^{2}$ である。

三角形 $P_{0} P_{1} P_{2}$ の面積は

\frac{1}{2} Im {(λ - 1) \overline{(λ^{2} - 1)}}

で求められる。これを計算すると $[△ P_{0} P_{1} P_{2}] = \frac{a ^{3}}{2 ( 1 + a ^{2} ) ^{2}}$ である。

よって $F (a) = \frac{a ^{3}}{2 ( 1 + a ^{2} ) ^{2}} (a > 0)$ の最大を求めればよい。微分すると $F^{'} (a) = \frac{a ^{2} ( 3 - a ^{2} )}{2 ( 1 + a ^{2} ) ^{3}}$ である。したがって $0 < a < 3$ で増加し、 $a > 3$ で減少するので、最大となるのは $a = 3$ である。

(2)

$a = 3$ のとき

λ = \frac{1 + 3 i}{4} = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})

である。つまり、各点は前の点を原点のまわりに60度回転し、さらに長さを $\frac{1}{2}$ 倍した位置にある。

したがって三角形 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ は、 $△ P_{0} P_{1} P_{2}$ を相似比 $(\frac{1}{2})^{n}$ で縮小し、回転したものである。面積比はその2乗なので、各三角形の面積は

[△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}] = [△ P_{0} P_{1} P_{2}] (\frac{1}{4})^{n}

である。隣り合う三角形は辺を共有するだけで内部は重ならず、全体は原点へ向かって巻くように並ぶ。

(1)での最大面積は $[△ P_{0} P_{1} P_{2}] = \frac{( 3 ) ^{3}}{2 ( 1 + 3 ) ^{2}} = \frac{3 3}{32}$ である。よって

S_{n} = \frac{3 3}{32} (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4 ^{2}} + \dots + \frac{1}{4 ^{n}})

である。したがって

n \to \infty lim S_{n} = \frac{3 3}{32} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{8}

である。

東京大学 1990年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1990年度
理系数学第4問