東京大学 1989年度理系数学第5問解答・解説

問題

$f (x) = π x^{2} sin π x^{2}$ とする。 $y = f (x)$ のグラフの $0 ≦ x ≦ 1$ の部分と $x$ 軸とで囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ は

V = 2 π \int_{0}^{1} x f (x) d x

で与えられることを示し，この値を求めよ。

出典：東京大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

回転体の体積は、半径 $x$ 、高さ $f (x)$ 、厚さ $d x$ の薄い円筒を足し合わせる考えで示す。 $f (x) ≧ 0$ は $0 ≦ x ≦ 1$ で $0 ≦ π x^{2} ≦ π$ から確認できる。値の計算は $u = x^{2}$ と置いて $x^{3} d x$ を $u d u /2$ に変え、最後に部分積分で求める。

解答

$0 ≦ x ≦ 1$ では $0 ≦ π x^{2} ≦ π$ であるから $sin π x^{2} ≧ 0$ であり、 $f (x) ≧ 0$ である。 $x$ から $x + d x$ までの細い部分を $y$ 軸のまわりに回転すると、半径がほぼ $x$ 、高さが $f (x)$ 、厚さが $d x$ の薄い円筒になる。その側面積は $2 π x f (x)$ 、厚さは $d x$ なので、体積の和として $V = 2 π \int_{0}^{1} x f (x) d x$ が得られる。

この式に $f (x) = π x^{2} sin π x^{2}$ を代入すると $V = 2 π^{2} \int_{0}^{1} x^{3} sin π x^{2} d x$ である。ここで $u = x^{2}$ とおくと、 $d u = 2 x d x$ であり、 $x^{3} d x = x^{2} x d x = u d u /2$ である。したがって $V = π^{2} \int_{0}^{1} u sin π u d u$ となる。

部分積分により

\int_{0}^{1} u sin π u d u = [- \frac{u cos π u}{π}]_{0}^{1} + \frac{1}{π} \int_{0}^{1} cos π u d u = \frac{1}{π} + \frac{1}{π ^{2}} [sin π u]_{0}^{1} = \frac{1}{π} .

よって $V = π^{2} \cdot \frac{1}{π} = π$ である。

東京大学 1989年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

東京大学 1989年度
理系数学第5問