東京大学 1989年度理系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に $y = - 1$ を準線，点 $F (0, 1)$ を焦点とする放物線がある。この放物線上の点 $P (a, b)$ を中心として，準線に接する円 $C$ を描き，接点を $H$ とする。 $a > 2$ とし，円 $C$ と $y$ 軸との交点のうち $F$ と異なるものを $G$ とする。扇形 $P F H$ （中心角の小さい方）の面積を $S (a)$ ，三角形 $P GF$ の面積を $T (a)$ とするとき，

a \to \infty lim \frac{T ( a )}{S ( a )}

を求めよ。

出典：東京大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

放物線を $x^{2} = 4 y$ と書き、 $P = (a, b)$ について $b = a^{2} /4$ を使う。円の半径は準線までの距離 $b + 1$ で、放物線の定義から $P F$ も同じ長さになる。扇形の中心角 $θ$ は三角形 $P F H$ から $sin θ = a / (b + 1)$ と表し、標準極限 $θ / sin θ \to 1$ で $S (a)$ の主項を求める。三角形 $P GF$ は $G$ の座標を円の方程式から出す。

解答

焦点 $F (0, 1)$ 、準線 $y = - 1$ の放物線は $x^{2} = 4 y$ である。したがって $P (a, b)$ は $b = \frac{a ^{2}}{4}$ を満たす。

円 $C$ は中心 $P$ で準線 $y = - 1$ に接するので、その半径は $b + 1$ である。接点は $H = (a, - 1)$ である。また放物線の定義より $P F = b + 1$ でもある。したがって $P F$ と $P H$ はともに円 $C$ の半径であり、扇形 $P F H$ の中心角を $θ$ とすると $S (a) = \frac{1}{2} (b + 1)^{2} θ$ である。

三角形 $P F H$ において、 $F$ と $H$ の $x$ 座標の差は $a$ であるから $sin θ = \frac{a}{b + 1}$ である。 $a \to \infty$ のとき $b + 1 = a^{2} /4 + 1$ なので $sin θ \to 0$ 、従って $θ \to 0$ である。よって

a \to \infty lim a θ = a \to \infty lim \frac{a ^{2}}{b + 1} \cdot \frac{θ}{sin θ} = 4

である。したがって

a \to \infty lim \frac{S ( a )}{a ^{3}} = a \to \infty lim \frac{1}{2} (\frac{b + 1}{a ^{2}})^{2} a θ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} \cdot 4 = \frac{1}{8} .

次に $G$ を求める。円 $C$ の方程式は $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = (b + 1)^{2}$ である。 $y$ 軸との交点では $x = 0$ だから $a^{2} + (y - b)^{2} = (b + 1)^{2}$ となる。 $F (0, 1)$ が一方の交点であるから、もう一方の交点 $G$ の $y$ 座標は、2解の和が $2 b$ であることより $2 b - 1 = \frac{a ^{2}}{2} - 1$ である。したがって $F G = (\frac{a ^{2}}{2} - 1) - 1 = \frac{a ^{2}}{2} - 2$ であり、点 $P$ から $y$ 軸までの距離は $a$ であるから $T (a) = \frac{1}{2} a (\frac{a ^{2}}{2} - 2) .$ よって $lim_{a \to \infty} \frac{T ( a )}{a ^{3}} = \frac{1}{4} .$ 以上より $lim_{a \to \infty} \frac{T ( a )}{S ( a )} = \frac{1/4}{1/8} = 2$ である。

東京大学 1989年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

東京大学 1989年度
理系数学第2問