問題
の整数部分のけた数と，1の位の数字を求めよ。ただし， を用いてよい。
出典：東京大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
とおき、 の整数部分を多項式の割り算で求める。余りは となるので、与えられた と の大小を比較して、商からいくつ引けば整数部分になるかを決める。けた数は先頭項 から、1の位は を含まない最後の項だけから読む。
解答
とおく。求める数は である。
多項式の割り算より である。したがって と書ける。ただし である。
ここで与えられた値から であり、 だから である。よって整数部分は である。
けた数を調べる。 は という形なので である。したがって整数部分のけた数は である。
また、 のうち を含む項はすべて で割り切れる。したがって1の位は の1の位で決まる。 の累乗の1の位は を周期4で繰り返すので、 の1の位は である。よって の1の位は である。
以上より、整数部分のけた数は であり、1の位の数字は である。
別解。 と見れば、整数部分 の1の位は最初から だけで決まる。けた数と1の位を分けて考えると、長い商を完全に書き下す必要が少なくなる。