問題
三つの実数，，のうち最大の数をで表し，最小の数をで表す．いま，次の条件をみたす，，を座標とする点全体の集合をとする．
の体積を求めよ．ただし，，は定数で，とする．
出典：東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
条件 は、3数のうち大きい2つの和が 以下であることを表す。領域は座標の入れ替えで対称なので、 の部分を計算して6倍する。この順序では条件は 。 では上限が 、 では上限が に変わる。
解答
条件 と非負条件から である。また は、3数のうち大きい方から2つの和である。したがって は、立方体 の中で、大きい2つの和が 以下となる部分である。
領域は の入れ替えに関して対称である。境界面上の重なりは体積に影響しないので、 の部分を求めて6倍する。この部分では大きい2つは なので、条件は である。
固定した に対して、 は を動くので長さは である。また は を満たす。ここで となるのは のときである。よって順序を固定した部分の体積は である。これを計算すると
したがって全体の体積はこの6倍で、 である。