問題
行列が条件をみたすとき，このような，を座標とする点が存在する範囲を図示せよ．ただし，行列の成分は実数とする．
出典：東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
行列の式を成分で展開する。対称行列 について を書き下すと、対角成分から の条件、非対角成分から が得られる。 の場合と の場合に分け、実数 が存在するための条件を として読み取る。最後は、平面上で線分と孤立した2点として図示する。
解答
条件 を成分で書く。 の第1行が 、第2行が であるから、 の第1行は 第2行は である。したがって条件は である。
まず の場合を考える。このとき だから である。よって が得られる。
次に の場合を考える。このとき である。また第1の式から である。実数 が存在するための必要十分条件は すなわち である。 なので、この場合に得られる点は を満たす線分上の点である。この線分の端点は であり、これは の場合にも含まれている。
以上より、求める範囲は で表される線分と、孤立した2点 である。図示では、点 と を結ぶ線分を描き、さらに 、 を打てばよい。