問題
を正の定数とし，の関数のグラフをとする．が極大となるの値をとするとき，点におけるの接線ととによって囲まれる部分の面積をで表せ．
出典：東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
まず導関数から極大点 を求める。極大点では接線が水平になるので、接線は である。交点は とおいて無次元化すると、 が接点で重なり、もう一つの交点が と分かる。面積は接線の高さから曲線を引いたものを積分し、、 によって全体倍率が になることを確認する。
解答
まず極大点を求める。導関数は である。 なので、臨界点は である。さらに だから、 では となり、ここで極大となる。したがって である。
このとき であり、極大点での接線は水平だから である。曲線との交点を求めるため、 とおく。すると であり、交点条件は である。整理すると で、これは と因数分解できる。したがって接線と曲線で囲まれる部分は、 から までである。
この区間では接線が曲線の上にあるので、面積 は である。、 を用いると である。被積分関数は
であり、積分を計算すると
となる。よって求める面積は である。