問題
の関数をとおく．
区間のすべてのに対してであるような，を座標とする点の存在する範囲を図示せよ．
出典：東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
を区間 上の2次式として扱う。 なら上に凸なので最小は端点、 なら下に凸なので端点条件に加えて、頂点が区間内に入る場合は頂点での値も見る。 では端点条件だけで頂点条件も自動的に満たされ、 では頂点条件 が境界になる。
解答
与えられた関数は である。
【 の場合】このとき は上に凸、または1次式である。区間 での最小値は端点のどちらかでとる。したがって が必要十分である。これは を意味する。右辺が0以上でなければならないので、 も必要である。よって である。
【 の場合】このとき は下に凸である。まず端点で非負であるためには、同じく が必要である。頂点は である。 では、端点条件 のもとで、頂点が区間内に入る場合にも が自動的に成り立つ。実際、 なら である。したがって でよい。 では、端点条件だけでは頂点で負になることがある。頂点が区間内にある範囲での条件は すなわち である。この条件が成り立つには である。よって となる。
以上をまとめると、求める範囲は で表される部分と、 で表される部分の和集合である。図示では、前者は直線 に挟まれた領域、後者は放物線型の境界 の内側であり、両者は で滑らかにつながる。