問題
平面の一点と正数 をとる．点の集合としてのからへの写像が，次の三つの条件(i)，(ii)，(iii)をみたすとき，はを中心とする正の向きの回転と呼ばれる．
(i) ，
(ii) の任意の点 に対し，，，
(iii) 人が三角形の周を一周し，，，の順序に頂点を通るとき，三角形の内部は常に人の左側にある．
いま上に相異なる二点，をとり，を中心とする正の向きの回転を，を中心とする正の向きの回転をとする．これに対し，との合成写像が，によって定義される．
(1) このとき，点とは，，に対して，どのような位置にあるかを求め，図示せよ．
(2) はある点を中心とする正の向きの回転であることを示し，点および回転角を求めよ．
% 図は省略
出典：東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
相似変換で ， としてよい。正の 回転を の掛け算で表し，二つの変換を合成して を一次式で求める。 は直接代入し，中心は を解いて決める。最後に の形へ直して，回転角が であることを示す。
解答
長さと角度だけが問題なので，座標を取り直して としてよい。また とおく。点 を中心とする正の 回転は であり，点 を中心とする正の 回転は である。したがって合成した変換は となる。
(1)
まず と を代入すると であり， である。したがって は と一致する。また は を満たし，座標では線分 の下側にある。つまり， は正三角形を作り， は から へ向かって右側の頂点である。
(2)
中心 があるとすれば であるから を解けばよい。よって であり， だから
となる。この点を用いると が成り立つ。 であるから， は点 を中心とする正の 回転である。
元の図形に戻すと， は正三角形 の中心であり，線分 の中点から 側へ だけ進んだ点である。