問題
四点，，，を頂点とする四面体において，各辺の長さが
であるとき，の体積を求めよ．またこのような四面体が存在するようなの範囲を求めよ．またこの範囲でを動かしたときの体積の最大値を求めよ．
出典：東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
四つの等しい辺長から対称な座標配置を作る。 を 軸方向， を 軸方向に置くと，残る自由度は高さ だけになる。辺長条件から を求め， が四面体の存在条件になる。体積は座標で を直接計算し，最後は を の二次式として最大化する。
解答
であり，， であるから，点 は線分 の垂直二等分面上にある。また ， であるから，点 は線分 の垂直二等分面上にある。そこで，二つの中点を原点に合わせて
とおくことができる。ただし四面体がつぶれないためには が必要である。
辺 の長さが であることから であり，したがって を得る。よって存在条件は すなわち である。
次に体積を求める。 を基準にして
であるから，座標で体積を計算すると
となる。したがって である。
最大値は の代わりに を見ればよい。 とおくと，存在範囲は であり， である。これは ，すなわち のとき最大となる。そのとき なので，体積の最大値は である。