問題
がという範囲を動くときの，関数の最小値が0となるような，定数の値をすべて求めよ．
出典：東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
二次関数を平方完成し，軸の位置と区間 の関係で最小値を決める。最小値が端点で出る場合と軸で出る場合を分け，得られた がその場合分けの条件を本当に満たすかまで確認する。境界 は内部の場合に含めれば重複なく処理できる。
解答
平方完成すると である。したがって軸は であり，上に開く放物線なので，区間 における最小値は軸が区間のどこにあるかで決まる。 のとき，軸は区間の左側にあるから，区間内では で最小となる。よって であり， から を得る。この場合分けでは なので，残るのは である。 のとき，軸 が区間内にあるから， である。したがって から を得る。どちらも を満たす。 のとき，軸は区間の右側にあるから，区間内では で最小となる。よって であり， から を得る。この場合分けでは なので，残るのは である。
以上より，求める値は である。
別解。平方完成した形から，区間内で を最小にする点を考えても同じ結論になる。 なら最近点は ， なら最近点は ， なら最近点は であるため，上の三つの最小値 がそのまま出る。軸の位置で場合分けしていることを，距離の最小化として見直した解法である。