東京大学 1986年度文系数学第3問解答・解説

問題

三次またはそれ以下の任意の整式 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ に対して，常に $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = u f (s) + v f (t)$ が成立つような定数 $u$ ， $v$ ， $s$ ， $t$ を求めよ．ただし $s < t$ とする．

出典：東京大学 1986年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

任意の三次以下の整式で恒等的に成り立つ条件なので，基底となる $1, x, x^{2}, x^{3}$ を代入して四つの方程式を作る。奇数次の積分が $0$ になることから二つの評価点が対称であることを導き，重みと位置を決める。最後に得られた値を一般の $f (x)$ に戻して，三次以下なら本当に成立することを確認する。

解答

条件が三次以下のすべての整式に対して成り立つので，まず $f (x) = 1, x, x^{2}, x^{3}$ を順に代入する。 $f (x) = 1$ から $2 = u + v$ を得る。 $f (x) = x$ から $0 = u s + v t$ を得る。 $f (x) = x^{2}$ から $\frac{2}{3} = u s^{2} + v t^{2}$ を得る。さらに $f (x) = x^{3}$ から $0 = u s^{3} + v t^{3}$ を得る。

ここで $u s + v t = 0, u s^{3} + v t^{3} = 0$ を比べる。前者から $u s = - v t$ である。これを後者に用いると $u s^{3} + v t^{3} = u s^{3} - u s t^{2} = u s (s^{2} - t^{2}) = 0$ となる。もし $u s = 0$ なら $u s = v t = 0$ となり， $u + v = 2$ と $u s^{2} + v t^{2} = 2/3$ を同時に満たせない。したがって $u s \neq = 0$ であり， $s^{2} = t^{2}$ である。条件 $s < t$ より $s = - t, t > 0$ となる。

このとき $u s + v t = 0$ は $- u t + v t = 0$ となるから $u = v$ である。さらに $u + v = 2$ より $u = v = 1$ を得る。最後に $x^{2}$ の式へ代入すると $\frac{2}{3} = s^{2} + t^{2} = 2 t^{2}$ であるから $t = \frac{1}{3}, s = - \frac{1}{3}$ となる。

実際，この値に対して三次以下の整式 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ を考えると，

f (- \frac{1}{3}) + f (\frac{1}{3}) = 2 (\frac{b}{3} + d) = \frac{2 b}{3} + 2 d

である。一方，奇数次の項は対称区間で打ち消し合うので $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \int_{- 1}^{1} (b x^{2} + d) d x = \frac{2 b}{3} + 2 d$ となり，一致する。よって $u = v = 1, s = - \frac{1}{3}, t = \frac{1}{3}$ である。

東京大学 1986年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

東京大学 1986年度
文系数学第3問