問題
を正の数とする．空間において，点をとし，軸を含み点を通る平面に関してと対称な点を，軸を含み点を通る平面に関してと対称な点をとする．また，原点をとする．
(1) ，の座標を求めよ．
(2) 4点，，，を頂点とする4面体の体積を求めよ．
出典：東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
まず2つの対称平面を方程式で表す。 軸を含む平面は ， 軸を含む平面は である。反射はそれぞれ 平面， 平面内の直線対称に帰着する。座標を得た後，体積は の作る平行六面体の体積を6で割って求める。
解答
(1)
軸を含み，点 を通る平面を考える。この平面は 軸方向を自由に含み， も含むので， の関係だけを見れば である。したがって をこの平面で対称移動する問題は， 平面で点 を直線 に関して対称移動する問題になる。
直線 の方向ベクトルは である。点 のこの方向への射影は である。対称点は「射影の2倍から元の点を引く」ことで得られるから である。よって である。
同様に， 軸を含み点 を通る平面は である。よって である。
(2)
4面体 の体積を とすると である。計算を軽くするため とおく。すると
である。列に対して を ， を に置き換えても行列式は変わらないので である。
ここで
だから である。したがって であり， である。